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Forum "Uni-Lineare Algebra" - isomorphe gruppe
isomorphe gruppe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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isomorphe gruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:42 Mo 27.03.2006
Autor: hurdel

Aufgabe
sei a [mm] \in \IR^{2}. [/mm] Dann ist die Menge der Bewegungen f mit f(a) = a eine zu O(2) isomorphe gruppe.  

O(2) bezeichnet hier die gruppe der reellen orthogonalen Matrizen, also    O(2):={T [mm] \in mat(2;\IR): T^{t}T=E}. [/mm] dabei bezeichnet E die einheitsmatrix.
weiss nicht, wie man sowas beweisen soll.
wer kann mir bitte helfen?

diese frage wurde in keinem anderen forum gestellt

        
Bezug
isomorphe gruppe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:14 Mo 27.03.2006
Autor: topotyp

Idee
Mit Bewegung meist du eine lineare Abbildung f: [mm] R^2 [/mm] -> [mm] R^2 [/mm]
mit <f(x),f(y)>=<x,y> für alle x,y oder nicht?

(Das kann man auch mit der Norm definieren! Das Skalarprodukt
ist aber eind. bestimmt durch die Norm, falls es überhaupt existiert!)

Als lineare Abb. hat f die Form x -> Ax + b wobei A eine 2 mal 2 matrix
und b ein vektor ist. durch die vorschrift f(a)=a kann man sich b als
"bestimmt" denken und dann ist nur "A frei".  Wahrscheinlich ist es ok,
b=0 zu nehmen und dann hat man aus <Ax,Ay>=<x,y> zu folgern, dass
A orthogonal ist. Das ist leicht, wenn man die Basisvektoren für x,y
einsetzt. (Die Frage ist natürlich schwieriger wenn man nicht weiss, dass f linear ist)

Bezug
                
Bezug
isomorphe gruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:23 Mo 27.03.2006
Autor: hurdel

ist damit der Isomomorphismus gezeigt?

Bezug
                        
Bezug
isomorphe gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:46 Di 28.03.2006
Autor: topotyp

na ja, aus der sicht eines reinen mathematikers eher nicht
die ideen sind schon noch auszuarbeiten, also genau zu formulieren


Bezug
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