k-te Ableitung eines Polynoms < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] f(x)=\begin{cases} e^{-\bruch{1}{x^2}}, & \mbox{für } x \not=0 \\ 0, & \mbox{für } x =0 \end{cases}
[/mm]
a) Beweisen Sie, dass die k-te Ableitung von f in [mm] x\not=0 [/mm] durch
[mm] f^{(k)}(x)=p_{k}*(\bruch{1}{x})*e^{-\bruch{1}{x^2^}} [/mm] gegeben ist, wobei [mm] p_{k} [/mm] ein Polynom ist.
b) Zeigen Sie weiter, dass für x=0 [mm] f^{(k)}(x) [/mm] = 0 gilt. |
Ich habe echt keine Ahnung wie ich diese aufgabe angehen soll.
Könnt ihr soetwas beweisen?
Grüße... und danke :)
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Hallo,
hast Du schon versucht, das mit vollständiger Induktion zu beweisen?
So würde ich das angehen.
Gruß v. Angela
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Mit Induktion?!
Also dann wäre der erste Schritt: (k=1)
[mm] f^{(1)}(x) [/mm] = [mm] p_{1}*(\bruch{1}{x})*e^{-\bruch{1}{x^{2}}}
[/mm]
und die erste Ableitung von [mm] e^{-\bruch{1}{x^{2}}} [/mm] ist mit der Kettenregel [mm] e^{-\bruch{1}{x^{2}}}*(2*\bruch{1}{x^{3}})
[/mm]
Stimmt das soweit ??? Dann könnte ich sagen die 2 sei mein Polynom [mm] (x^{0} [/mm] und die Form des [mm] \bruch{1}{x} [/mm] habe ich ja auch durch [mm] das\bruch{1}{x^{3}} [/mm] gegeben...
aber wie mache ich das für k+1 ???
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> Also dann wäre der erste Schritt: (k=1)
Zu zeigen, daß
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> [mm]f^{(1)}(x)[/mm] = [mm]p_{1}*(\bruch{1}{x})*e^{-\bruch{1}{x^{2}}}[/mm]
>
> und die erste Ableitung von [mm]e^{-\bruch{1}{x^{2}}}[/mm] ist mit
> der Kettenregel [mm]e^{-\bruch{1}{x^{2}}}*(2*\bruch{1}{x^{3}})[/mm]
Genau. [mm] f'(x)=\bruch{2}{x^{3}}e^{-\bruch{1}{x^{2}}}.
[/mm]
>
> Stimmt das soweit ??? Dann könnte ich sagen die 2 sei mein
> Polynom [mm](x^{0}[/mm] und die Form des [mm]\bruch{1}{x}[/mm] habe ich ja
> auch durch [mm]das\bruch{1}{x^{3}}[/mm] gegeben...
Naja, das muß schon richtig stimmen. [mm] \bruch{1}{x^{3}} [/mm] ist ja was anderes als [mm] \bruch{1}{x}.
[/mm]
Ich glaub auch nicht, daß man das passend machen kann...
Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten.
1. Die Antwort lautet: Die Behauptung stimmt nicht, man kann die k-te Ableitung nicht so angeben.
2. Du guckst nochmal, ob Du die Formel richtig aufgeschrieben hast, möglicherweise sollte es nicht [mm] \bruch{1}{x} [/mm] heißen, sondern irgendwie anders. z.B. [mm] \bruch{1}{x^{3k}} [/mm] oder so.
Gruß v. Angela
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nein, verschrieben habe ich mich nicht ... auf dem Blatt steht auch nur [mm] \bruch{1}{x} [/mm] :(
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> nein, verschrieben habe ich mich nicht ... auf dem Blatt
> steht auch nur [mm]\bruch{1}{x}[/mm] :(
Dann hast Du zweierlei Möglichkeiten:
entweder Du schreibst: "die Aussage gilt nicht, denn es ist ...." Und fertig.
Oder Du schreibst: " Die Aussage gilt so nicht, denn es ist.... Es gilt aber..." und dann die richtige Formel, die Du per Induktion beweist.
Grob drüberguckend meine ich, daß es mit [mm] \bruch{1}{x^{3k}} [/mm] stimmen müßte.
Gruß v. Angela
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Habe nun nochmal drübergeschaut und man kann die a) umdefinieren ... :)
Hat jemand eine Ahnung wie man die b) beweist ???
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:59 So 25.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast ja das Polynom [mm] p_1(1/x)=2*(1/x)^3
[/mm]
jetzt musst du noch ein bis 2 mal differenzieren, um auf die richtige Vermutung fuer [mm] p_k(1/x) [/mm] zu kommen,
oder du sagst einfach, wenn man ein Polynom [mm] p_k(1/x)*e^{-1/x^2} [/mm] differenziert, kommt wieder nach Produkt und Kettenregel ein neues polynom [mm] *e^{-1/x^2} [/mm] raus.
Gruss leduart
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Hallo,
für die b) mußt Du zeigen,
daß für alle k [mm] \limes_{x\rightarrow 0}=\bruch{f^{(k-1)}(x)-f^{(k-1)}(0)}{x-0}=0.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Habe es nun hinbekommen, viele Dank für deine Hilfe... :)
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Hallo,
leduarts Antwort hat mich drauf gestoßen:
Hattest Du doch einen Schreibfehler?
Sollte es statt $ [mm] f^{(k)}(x)=p_{k}\cdot{}(\bruch{1}{x})\cdot{}e^{-\bruch{1}{x^2^}} [/mm] $
vielleicht heißen
$ [mm] f^{(k)}(x)=p_{k}(\bruch{1}{x})\cdot{}e^{-\bruch{1}{x^2^}} [/mm] $
Das würde nämlich stimmen; [mm] p_{k}(\bruch{1}{x}) [/mm] wäre dann ein Polynom, welches man an der Stelle [mm] \bruch{1}{x} [/mm] betrachtet.
Gruß v. Angela
Gruß v. Angela
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