keine Varianz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 Mi 09.11.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Die Verteilung der Zufallsvariable X sei gegeben durch
[mm]P(X=\sqrt{i})=c\cdot i^{-2}, i\in\mathbb N, c=1/\sum_{i=1}^{\infty}i^{-2}=\frac{6}{\pi^2}[/mm].
Zeigen Sie, daß X einen Erwartungswert, jedoch keine Varianz besitzt. |
Hallo, nochmal ich. 
Hier sind meine Ideen:
[mm]E(X)=\sqrt{1}\cdot \frac{6}{\pi^2}\cdot \frac{1}{1^2}+\sqrt{2}\cdot\frac{6}{\pi^2}\cdot\frac{1}{2^2}+...=\frac{6}{\pi^2}\cdot\sum_{i=1}^{\infty}\frac{\sqrt{i}}{i^2}=\frac{6}{\pi^2}\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^{3/2}}[/mm]
Da die Reihe konvergiert (da der Exponent im Nenner größer als 1 ist), existiert also der Erwartungswert.
Nun zu der Varianz.
Es gilt ja [mm]\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-E(X)^2[/mm].
Nun ist ja [mm]E(X)^2<\infty[/mm].
Jedoch ist [mm]E(X^2)=\frac{6}{\pi^2}\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i}[/mm] und das ist ja die harmonische Reihe, die divergiert!
Also hat man (salopp gesagt):
[mm]\operatorname{Var}(X)=\infty-\text{endlicher Wert}=\infty[/mm] und deswegen hat X keine Varianz.
Ist das so korrekt, was ich aufgeschrieben habe?
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand antwortet!
Liebe Grüße
mikexx
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Mi 09.11.2011 | | Autor: | mikexx |
Wieso sagt man eigentlich, daß X keine Varianz besitzt, wenn [mm]\operatorname{Var}(X)=\infty[/mm]?
Achso, cool, daß ich die Aufgabe richtig bewiesen habe; vielen Dank für Dein ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:26 Mi 09.11.2011 | | Autor: | luis52 |
> Wieso sagt man eigentlich, daß X keine Varianz besitzt,
> wenn [mm] $\operatorname{Var}(X)=\infty$?
[/mm]
>
Konvention. Man braucht in Anwendungen die Voraussetzung [mm]\operatorname{Var}(X)<\infty[/mm], z.B. beim Zentralen Grenzwertsatz oder bei der Standardisierung von $X_$.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:27 Mi 09.11.2011 | | Autor: | mikexx |
Okay.
Darf ich hier noch eine zweite Frage (ähnlich wie die obige) stellen oder soll ich einen neuen Thread dafür öffnen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:29 Mi 09.11.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo mikexx!
Bitte eröffne für eine neue / eigenständige Frage einen neuen Thread - danke.
Gruß
Loddar
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