kleinster, größter Eigenwert < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] (V,\langle,\rangle) [/mm] ein endlich-dimensionaler, unitärer Vektorraum. Sei [mm] f:V\rightarrow [/mm] V selbstadjungierter Endomorphismus mit kleinstem Eigenwert [mm] \lambda [/mm] und größtem Eigenwert [mm] \mu.
[/mm]
Zeige zunächst: für [mm] 0\neq v\in [/mm] V gilt:
[mm] \lambda\leq\frac{\langle f(v),v\rangle}{\langle v,v\rangle}\leq\mu.
[/mm]
Beantworte anschließend: Für welche v steht links oder rechts das Gleichheitszeichen. |
Hallo,
aufgrund meiner gegebenen Voraussetzungen besitzt V eine Basis aus Eigenvektoren.
Dann kann ich doch schreiben: [mm] v=\lambda v_{1}+\overset{n-1}{\underset{2}{\sum}}\eta_{i}v_{i}+\mu v_{n}.
[/mm]
Das Blöde ist nur, dass nun v kein Eigenvektor ist, wenn [mm] \lambda\neq \mu.
[/mm]
Ich muss ja irgendwie später ausnutzen, dass ich [mm] f(v)=\lambda [/mm] v setzen kann.
Wie muss ich mir also mein v definieren, damit ich näher an die Behauptung rankomme? Dazu noch folgendes:
Selbstadjungiert bedeutet:
[mm] \langle f(v),v\rangle=\langle v,f(v)\rangle.
[/mm]
Da [mm] v\neq [/mm] 0 ist [mm] \frac{\langle f(v),v\rangle}{\langle v,v\rangle}>0.
[/mm]
Zur Frage der Gleichheit:
Meiner Meinung nach ergibt sich die, wenn v entweder ein Eigenvektor zu [mm] \lambda [/mm] oder zu [mm] \mu [/mm] ist:
Ich habe es auch bewiesen, aber wenn mir jemand sagen könnte, dass diese Antwort wirklich stimmt, wäre ich schon beruhigter.
Gruß Sleeper
|
|
| |
|
Hallo,
also iwo fehlt mir die logische Abfolge der Aussagen in deinem Beweis.
Erstmal ist ja f symmetrisch, d.h. es gibt nur reelle Eigenwerte.
Nun wähle man sich eine ON-Basis [mm] {b_1,...,b_n} [/mm] aus Eigenvektoren nach Basisergänzungssatz/Austauschsatz.
Wie du gesagt hast gibt jetzt [mm] $\forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V: v = [mm] \overset{n}{\underset{1}{\sum}}v_i b_i$, [/mm] für gewisse [mm] $v_i \in [/mm] K$.
d.h. [mm] $\bruch{ < f(v),v> }{ < v,v > } [/mm] = [mm] \bruch{ \summe_{i,j=1}^{n} b'_i b_j < v_i , v_j > }{ \summe_{i=1}^{n} b_i^2 < v_i,v_i > } [/mm] $, die $b'_i$ kommen aus dem Bildraum, aber da f ein Endomorphismus ist, geht das auch gut.
Jetzt kannst du nutzen das eine ON-Basis gewählt wurde und dann steht eig sehr schnell das gesuchte da, unter Verwendung [mm] f(v_i) [/mm] = [mm] \lambda_i.
[/mm]
lg Kai
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> also iwo fehlt mir die logische Abfolge der Aussagen in
> deinem Beweis.
>
> Erstmal ist ja f symmetrisch, d.h. es gibt nur reelle
> Eigenwerte.
>
> Nun wähle man sich eine ON-Basis [mm]{b_1,...,b_n}[/mm] aus
> Eigenvektoren nach Basisergänzungssatz/Austauschsatz.
Das mit dem Basisergänzungssatz ist hier eigtl überflüssig. Es gibt ja eine Basis aus Eigenvektoren. Orthonormalisieren und fertig.
>
> Wie du gesagt hast gibt jetzt [mm]\forall v \in V: v = \overset{n}{\underset{1}{\sum}}v_i b_i[/mm],
> für gewisse [mm]v_i \in K[/mm].
>
> d.h. [mm]\bruch{ < f(v),v> }{ < v,v > } = \bruch{ \summe_{i,j=1}^{n} b'_i b_j < v_i , v_j > }{ \summe_{i=1}^{n} b_i^2 < v_i,v_i > } [/mm],
> die [mm]b'_i[/mm] kommen aus dem Bildraum, aber da f ein
> Endomorphismus ist, geht das auch gut.
>
> Jetzt kannst du nutzen das eine ON-Basis gewählt wurde und
> dann steht eig sehr schnell das gesuchte da, unter
> Verwendung [mm]f(v_i)[/mm] = [mm]\lambda_i.[/mm]
>
> lg Kai
Hallo nochmal,
ich finde deine Art und Weise das aufzuschreibe etwas komisch.
Nutzt man die Linearität von f aus, so kommt ma am Ende einfach, wenn man für v die Linearkombination der Basis einsetzt, zu: [mm] =...=\langle f(v_i),v_i\rangle.
[/mm]
Damit ist dann alles klar. Und meine Aussage müsste auch stimmen: Ist [mm] v_i [/mm] der Eigenvektor zum EW [mm] \lambda [/mm] bzw. [mm] \mu [/mm] so steht da ein Gleichheitszeichen. Alles richtig soweit?
|
|
|
| |
|
> > Hallo,
> >
> > also iwo fehlt mir die logische Abfolge der Aussagen in
> > deinem Beweis.
> >
> > Erstmal ist ja f symmetrisch, d.h. es gibt nur reelle
> > Eigenwerte.
> >
> > Nun wähle man sich eine ON-Basis [mm]{b_1,...,b_n}[/mm] aus
> > Eigenvektoren.
>
> Das mit dem Basisergänzungssatz ist hier eigtl überflüssig.
> Es gibt ja eine Basis aus Eigenvektoren. Orthonormalisieren
> und fertig.
>
> >
> > Wie du gesagt hast gibt jetzt [mm]\forall v \in V: v = \overset{n}{\underset{1}{\sum}}v_i b_i[/mm],
> > für gewisse [mm]v_i \in K[/mm].
> >
> > d.h. [mm]\bruch{ < f(v),v> }{ < v,v > } = \bruch{ \summe_{i,j=1}^{n} b'_i b_j < v_i , v_j > }{ \summe_{i=1}^{n} b_i^2 < v_i,v_i > } [/mm],
> > die [mm]b'_i[/mm] kommen aus dem Bildraum, aber da f ein
> > Endomorphismus ist, geht das auch gut.
> >
> > Jetzt kannst du nutzen das eine ON-Basis gewählt wurde und
> > dann steht eig sehr schnell das gesuchte da, unter
> > Verwendung [mm]f(v_i)[/mm] = [mm]\lambda_i.[/mm]
> >
> > lg Kai
>
> Hallo nochmal,
>
> ich finde deine Art und Weise das aufzuschreibe etwas
> komisch.
> Nutzt man die Linearität von f aus, so kommt ma am Ende
> einfach, wenn man für v die Linearkombination der Basis
> einsetzt, zu: [mm]=...=\langle f(v_i),v_i\rangle.[/mm]
> Damit ist
> dann alles klar. Und meine Aussage müsste auch stimmen: Ist
> [mm]v_i[/mm] der Eigenvektor zum EW [mm]\lambda[/mm] bzw. [mm]\mu[/mm] so steht da ein
> Gleichheitszeichen. Alles richtig soweit?
Ich denke nicht, dass die zerlegung:
> $ [mm] v=\lambda v_{1}+\overset{n-1}{\underset{2}{\sum}}\eta_{i}v_{i}+\mu v_{n}$ [/mm]
wie du in deiner Frage geschrieben hast bzgl. einer Basis so richtig ist. Falls v der erste Eigenvektor ist, dann ist [mm] $v_1 [/mm] = 1$ und [mm] $v_i [/mm] = 0$ für $i=2,...,n$. Und wenn du den dann einsetzt kommst du auf $f(v) = [mm] f(v_1) [/mm] = [mm] \lambda$. [/mm]
Das da vllt ein wenig zu viel für deinen Geschmack an Begründung drinne steht, kann ja sein, das kannst du ja auch rausfiltern, falls du iwas übernimmst.
lg Kai
|
|
|
| |
|
Ausserdem stimmt das mit der Zerlegung der Vektoren in V nicht, die Koeffizienten müsse nicht die Eigenwerte sein!
Das sind beliebige, aber immer eindeutig bestimmte Körperelemente!
Relevant für den Beweis ist eben, wenn du selbst den ersten und letzten Eigenvektor einnsetzt (angenommen die Reihenfolge der Vektoren hällt sich an die Größe der Eigenwerten).
|
|
|
|
