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| Aufgabe | | Berechne die Fläche der Schneeflocke, wobei das Startdreieck Kantenlänge 1 hat. |
So...ich komme gerade nicht wirklich zu einem Endergebnis...
Ich bin von dem Startdreieck ausgegangen mit kantenlänge 1. und habe
[mm] F(A_0)= \bruch{\wurzel{3}}{4} [/mm] erhalten.
[mm] F(A_1)= \bruch{\wurzel{3}}{4}+ \bruch{3}{4}*\bruch{\wurzel{3}}{4}
[/mm]
[mm] F(A_n)= F(A_0)+\bruch{3}{4}*F(A_0)\summe_{i=1}^{n}\bruch{4}{9}^i [/mm] müsste ja dann die Gesamflächenformel sein....
aber wie berechne ich speziell für Kantenlänge =1?
Gruß Mathgirl
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Hallo Mathegirl,
hier gehts doch um eine einfache geometrische Reihe.
> Berechne die Fläche der Schneeflocke, wobei das
> Startdreieck Kantenlänge 1 hat.
> So...ich komme gerade nicht wirklich zu einem
> Endergebnis...
>
> Ich bin von dem Startdreieck ausgegangen mit kantenlänge
> 1. und habe
>
> [mm]F(A_0)= \bruch{\wurzel{3}}{4}[/mm] erhalten.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]F(A_1)= \bruch{\wurzel{3}}{4}+ \bruch{3}{4}*\bruch{\wurzel{3}}{4}[/mm]
Im ersten Schritt kommen 3 Dreiecke der Kantenlänge [mm] \tfrac{1}{3} [/mm] hinzu. Da jedes davon den Flächeninhalt [mm] \bruch{1}{9}*\bruch{\wurzel{3}}{4} [/mm] hat, ist [mm] F(A_1) [/mm] also...
> [mm]F(A_n)= F(A_0)+\bruch{3}{4}*F(A_0)\summe_{i=1}^{n}\bruch{4}{9}^i[/mm]
Im jedem Schritt wird die Zahl der Außenkanten vervierfacht. Das hast du offenbar richtig berücksichtigt. Aber woher kommen die 3/4 vor der Summe?
Außerdem müsste die Summe bis [mm] \infty [/mm] laufen bzw. der entsprechende Grenzwert gebildet werden.
> müsste ja dann die Gesamflächenformel sein....
>
> aber wie berechne ich speziell für Kantenlänge =1?
Na, indem Du (wie oben berechnet) [mm] A_0 [/mm] für die Kantenlänge 1 einsetzt, also [mm] \bruch{\wurzel{3}}{4}
[/mm]
Grüße
reverend
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Die [mm] \bruch{3}{4} [/mm] habe ich irgendwie beim Umformen erhalten, stimmt das so nicht?
habe folgendes gemacht:
[mm] F(A_n)= F(A_0)+F(A_0)\summe_{i=1}^{\infty}4^{i-1}*3*\bruch{1}{9}^i [/mm] = [mm] F(A_0)+\bruch{3}{4}*F(A_0)\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{4}{9}^i
[/mm]
okay....und "einfach nur " [mm] A_0 [/mm] mit Kantenlänge 1 einsetzen und das wars schon? okay...DAS schien mir fast zu einfach!
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Hallo nochmal,
ah. Ich habe offenbar ein Brett vor dem Kopf. Wahrscheinlich ein Schneebrett, äh, Snowboard.
Doch, das stimmt so, außer dass Dir Klammern um den Bruch fehlen - klick mal auf die Formel, dann siehst Du die LaTeX-Anweisung:
> [mm]F(A_n)= F(A_0)+F(A_0)\summe_{i=1}^{\infty}4^{i-1}*3*\left(\bruch{1}{9}\right)^i[/mm]
> =
> [mm]F(A_0)+\bruch{3}{4}*F(A_0)\summe_{i=1}^{\infty}\left(\bruch{4}{9}\right)^i[/mm]
>
> okay....und "einfach nur " [mm]A_0[/mm] mit Kantenlänge 1 einsetzen
> und das wars schon? okay...DAS schien mir fast zu einfach!
Ist doch schön, wenn es auch mal zu einfach ist, oder?
Grüße
reverend
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