kompakter m.R. und Fixpunkt < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:09 Do 04.06.2009 | | Autor: | Peano08 |
| Aufgabe | zeigen Sie: Ist X ein kompakter metrischer Raum und f: X ->X eine Abbildng mit d(f(x),f(y))<d(x,y) für alle x ungleich y, so hat f einen Fixpunkt.
Hinweis: Betrachten Sie die Menge [mm] A={d(f(x),x):x\in\X} [/mm] un deren Infimum a. Betnutzen Sie weiter die Tatsache, dass die Folge in X eine konvergente Teilfolge besitzt, um zu zeigen, dass ein Element [mm] x^*^\in\X [/mm] existiert mit a=d(f(x^*),x^*). |
Hallo, ich habe wieder mal keine Ahnung, wie ich hier ansetzen soll die Hinweise helfen mir m´nicht wirklich weiter, so dass ich total auf dem schlauchstehe und um jeden rat dankbar bin!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:21 Do 04.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei A = { d(fx),x) : x [mm] \in [/mm] X } und a = infA. Somit gibt es eine Folge [mm] (x_n) [/mm] in X mit
(1) [mm] d(f(x_n),x_n) \to [/mm] a
Da X kompakt ist, enthält [mm] (x_n) [/mm] eine konvergente Teilfolge. Sei x* deren Limes. Aus (1) folgt dann:
(2) a = d(f(x*),x*)
Annahme: f(x*) [mm] \not= [/mm] x*. Sei z:= f(x*). Die Def. von A und a zeigt:
a [mm] \le [/mm] d(f(z),z) = d(f(z),f(x*)) < d(z,x*) = d(f(x*),x*) = a,
also haben wir den Widerspruch a<a. Somit ist f(x*)= x*
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:48 Fr 05.06.2009 | | Autor: | Peano08 |
hi, vielen dank für deine antwort. ich denke jetzt hae ich die vorgehensweise bei solchen aufgaben soweit verstanden...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:27 Fr 02.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Warum folgt (2) aus (1)?
Wegen d(f(x),f(y))<d(x,y) für alle x ungleich y, ist f stetig
FRED
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