komplexe Differenzierbarkeit < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:01 Mi 23.04.2008 | | Autor: | jeffini |
| Aufgabe | Man entscheide in welchen Punkten die folgende Funktion komplex differentierbar ist:
f: [mm] \IC [/mm] => [mm] \IC, [/mm] z=x+iy [mm] =>\wurzel{abs(x)*abs(y)} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
also ich habe schon öfters solche Aufgaben gelöst und habe es meisten mit dem h-Limes gemacht oder mit der Cauchy-Riemannchen Differentialgleichung aber bei dieser komme ich nicht weiter da ich nicht weiss wie ich diese Funktion ableiten könnte und mit dem h-Limes auch nix gescheites finde =(
danke für jede Hilfe
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:23 Mi 23.04.2008 | | Autor: | fred97 |
Hallo jiffini,
Sei z eine (feste) komplexe Zahl. Nimm an, f wäre in z komplex differenzierbar,
dann ist auch die 4.te Potenz von f in z komplex differenzierbar. Wenn Du nun für diese Potenz die Cauchy-Riemannschen Dglen hinschreibst, siehst Du, dass notwendigerweise z= ? ist. Also ist f höchstens in diesem Punkt komplex differenzierbar. Mit hilfe des Differenzenquotienten kannst Du nun nachweisen, dass f doch nicht in diesem Punkt differenzierbar ist.
Gruß Fred
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 Mi 23.04.2008 | | Autor: | jeffini |
hi, also die 4te Potenz soll ich ja nehmen damit mein Absolutbetrag wegfällt oder weil sonst könnte ich ja auch die 2te Potenz nehmen??
ich kriege dann als Resutat [mm] x^2*y^2 [/mm] und die Cauchy-Rie. DG gibt mir dass entweder der Realteil von z 0 ist oder der Imaginärteil. Das wären ja dan de Achsen.
Zudem verstehe ich nicht warum ich laut deinem Tipp nachweisen soll dass sie dort doch nicht diff'bar sind...immerhin zeige ich ja mit dem Cauchy-r-DG dass sie genau an denen Punkten diff'bar sind oder habe ich da etwas falsch verstanden =(
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:31 Mi 23.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Jeffini,
> gleiche Aufgabe
> hi, also die 4te Potenz soll ich ja nehmen damit mein
> Absolutbetrag wegfällt oder weil sonst könnte ich ja auch
> die 2te Potenz nehmen??
es ist ja $f: [mm] \IC \to \IC$ [/mm] mit $x+i*y=z [mm] \mapsto f(z)=\sqrt{|x|*|y|}$ [/mm] zu betrachten. Wenn Du nun nur die 2e Potenz nimmst, also (nennen wir die Funktion mal [mm] $\black{h}$) [/mm] $h: [mm] \IC \to \IC$ [/mm] mit $z [mm] \mapsto h(z)=z^2$ [/mm] danachschaltest:
Dann ist $h [mm] \circ [/mm] f: [mm] \IC \to \IC$ [/mm] mit $(h [mm] \circ f)(z)=(f(z))^2=|x|*|y|=|x*y|$
[/mm]
Störend ist hier der Betrag, wenn man die partiellen Ableitungen nach $x$ und nach $y$ bildet (man bräuchte jedenfalls Fallunterscheidungen).
Betrachtest Du nun
$g: [mm] \IC \to \IC$ [/mm] mit $z [mm] \mapsto g(z)=z^4$,
[/mm]
so ist
$g [mm] \circ [/mm] f: [mm] \IC \to \IC$ [/mm] mit $(g [mm] \circ f)(z)=(f(z))^4=x^2*y^2+i*0$
[/mm]
Für die letzte Funktion $g [mm] \circ [/mm] f$ bildest Du nun im Hinblick auf die Cauchy-Riemann-Dgl. die partiellen Ableitungen [mm] $\frac{\partial Re(g \circ f)(x,y)}{\partial x}=2*x*y^2$, $\frac{\partial Im(g \circ f)(x,y)}{\partial x} \equiv 0$,$\frac{\partial Re(g \circ f)(x,y)}{\partial y}=2*y*x^2$ [/mm] und [mm] $\frac{\partial Im(g \circ f)(x,y)}{\partial y}\equiv [/mm] 0$ (mit der Identifikation $z=x+i*y=(x,y)$, $Re(z)$ als Realteil von $z$ und $Im(z)$ als Imaginärteil von $z$).
Nach den Cauchy-Riemann Dgl. folgt nun, wie Du richtig erkannst hast, dass, sollte $f$ und damit auch $g [mm] \circ [/mm] f$ in $z=x+iy$ differenzierbar sein, so muss dort in notwendiger Weise $x=0$ oder $y=0$ gelten.
(Wir haben ja nur die Folgerung: Wenn $f$ diff'bar in $z$, dann ist auch $g [mm] \circ [/mm] f$ diff'bar in $z$. Die Folgerung, dass, wenn $g [mm] \circ [/mm] f$ diff'bar in $z$ ist, dann auch $f$ diff'bar in $z$ ist, gilt i.a. nicht.
Das weißt Du auch schon aus dem Reellen:
$g: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $g(x)=x^2$ [/mm] ist diff'bar in allen $x [mm] \in \IR$, [/mm] aber $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit $f(x)=|x|$ ist nicht diff'bar in [mm] $x_0=0$. [/mm] Und dennoch ist $g [mm] \circ [/mm] f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] wegen $g [mm] \circ [/mm] f=g$ diff'bar in [mm] $x_0=0$.)
[/mm]
Das heißt, wenn [mm] $\black{f}$ [/mm] diff'bar in $z$ ist, so liegt $z$ auf der Realteilachse oder der Imaginärteilachse (in allen anderen $z$ kann [mm] $\blue{f}$ [/mm] nicht differenzierbar sein).
Für Punkte $z=x+i [mm] \cdot [/mm] y=(x,y)$ mit $x=0 [mm] \not=y$ [/mm] kannst Du Dir aber überlegen, dass [mm] $\blue{f}$ [/mm] nicht diff'bar in $z$ sein kann:
Betrachte einfach die Folgen [mm] $(z_n^{(1)})_{n \in \IN}$ [/mm] und [mm] $(z_n^{(2)})_{n \in \IN}$ [/mm] definiert durch:
[mm] $z_n^{(1)}:=0+i*\left(y+\frac{1}{n}\right)$ [/mm] sowie
[mm] $z_n^{(2)}:=\frac{1}{n}+i*y$, [/mm] $(n [mm] \in \IN)$.
[/mm]
(Insbesondere gilt $z [mm] \not=z_n^{(i)} \to [/mm] z=x+i*y=i*y$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] für $i=1,2$.)
Dann ist
[mm] $\lim_{n \to \infty} \frac{f(z_n^{(1)})-f(z)}{z_n^{(1)}-z}=\lim_{n \to \infty}\frac{0-0}{\blue{\underbrace{z_n^{(1)}-z}_{\not=0}}}=\lim_{n \to \infty} [/mm] 0=0$
aber
[mm] $\lim_{n \to \infty} \frac{f(z_n^{(2)})-f(z)}{z_n^{(2)}-z}=\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{\left|\frac{y}{n}\right|}-0}{\frac{1}{n}}=\sqrt{|y|}*\lim_{n \to \infty}\frac{n}{\sqrt{n}}=\sqrt{|y|}*\lim_{n \to \infty}\sqrt{n}= \infty$ [/mm] (wegen $|y| > 0$ und damit auch [mm] $\sqrt{|y|} [/mm] > 0$).
Konsequenz:
Für alle $z=x+i [mm] \cdot [/mm] y=(x,y)$ und $x=0 [mm] \not=y$ [/mm] ist $f$ nicht in $z$ (komplex) diff'bar.
Genauso siehst Du:
Für alle $z=x+i [mm] \cdot [/mm] y=(x,y)$ und $x [mm] \not=0=y$ [/mm] ist $f$ nicht in $z$ (komplex) diff'bar.
Es bleibt die Frage, ob $f$ in $z=0=0+i [mm] \cdot [/mm] 0=(0,0)$ (komplex) diff'bar ist. Und das überlasse ich mal noch Dir.
(Vielleicht ein kleiner Tipp:
Betrachte dann die (neuen) Folgen [mm] $(z_n^{(1)})_{n \in \IN}$ [/mm] und [mm] $(z_n^{(2)})_{n \in \IN}$ [/mm] mit
[mm] $z_n^{(1)}:=\frac{1}{n}+i *0=\frac{1}{n}$
[/mm]
[mm] $z_n^{(2)}:=\frac{1}{n}+i *\frac{1}{n}$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:04 Mi 23.04.2008 | | Autor: | jeffini |
Hallo,
also zunächst möchte ich dir einmal danken für deine grosse Mühe die du dir gemacht hast um mir die Aufgabe zu erklären. Ich habe sie nun gelöst und verstanden. Ich bin allerdings über die Länge der Aufgabe erstaunt, da dies nur eine Teilaufgabe für einen Punkt war =) Naja unser Prof verlangt halt manchmal etwas viel ; )
nochmals vielen Dank
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:13 Mi 23.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Jeffini,
man kann die Aufgabe ja auch anders lösen. Zunächst zeigt man, z.B. so, wie ich es getan habe, dass die Funktion [mm] $\blue{f}$ [/mm] nicht auf den Achsen diff'bar sein kann, und dann betrachtet man Punkte $z=x+i*y$ im jeweiligen Quadranten, schränkt sie auf eine offene Umgebung ein, so dass diese Umgebung im Quadranten liegt und zeigt dann mittels dieser eingeschränkten Funktion, dass Cauchy-Riemann-Dgl. in $z$ verletzt ist.
Außerdem kann es auch sein, dass man hier direkt zeigen kann, dass für jedes $z [mm] \in \IC$:
[/mm]
[mm] $\lim_{h \in \IC \setminus \{0\} \mbox{ und } h \to 0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h}$ [/mm] existiert nicht.
Und das ginge dann, indem man $h$ durch "zwei geeignete Folgen" ersetzt.
(Sowas habe ich ja bei den Achsen z.B. vollkommen analog gezeigt.)
Und da ich mir sicher bin, dass das letzte klappen sollte:
Für jedes $z$ schreibt man dann zwei Folgen $z [mm] \not=z_n^{(i)} \to [/mm] z$ ($i=1,2$) hin und rechnet den "Differenzquotienten bzgl. des Folgegliedes der jeweiligen Folge" aus und zeigt, dass bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] je was unterschiedliches rauskommt. Damit wird das dann im Wesentlichen zu einem Zweizeiler (wenn man denn erstmal so Folgen gefunden hat).
Ansonsten:
Gern geschehen 
Gruß,
Marcel
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