komplexe Differenzierbarkeit < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:21 Do 01.05.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen.
Ich kämpfe gerade mit der Definition der Differenzierbarkeit komplexer Funktionen...
Wir übernehmen dazu einfach die Definition der Differenzierbarkeit reeller Funktionen, allerdings haben wir hier eine etwas andere Definition als ich sie bisher kannte...
Ich kenne folgende Definition der Differenzierbarkeit reeller Funktionen:
Eine reelle Funktion f ist differenzierbar im Punkt [mm] x_0, [/mm] wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}\Delta(x)=\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] existiert. Dieser Grenzwert heißt dann Ableitung.
Wir haben nun aber folgende Definition:
f ist differenzierbar in [mm] x_0, [/mm] wenn es in [mm] x_0 [/mm] eine stetige Funktion [mm] \Delta [/mm] gibt, so dass die Darstellung [mm] f(x)=f(x_0)+(x-x_0)\Delta(x) [/mm] besteht. [mm] \Delta(x_0) [/mm] heißt dann der Wert der Ableitung.
[mm] \Delta(x) [/mm] ist wie oben der Differenzenquotient [mm] \bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}, [/mm] dass ergibt sich ja auch einfach aus umstellen der Formel.
Wenn ich das dann mal "übersetze" heißt das ja quasi:
f ist differenzierbar in [mm] x_0, [/mm] wenn in [mm] x_0 [/mm] die Formel des Differenzenquotienten besteht.
Aber was ist mit der Existenz des Grenzwertes? Die wird ja garnicht erwähnt...
Und wie kann ich ohne Grenzwert dann den Wert der Ableitung [mm] \Delta(x_0) [/mm] bilden, weil das wäre ja dann [mm] \bruch{f(x_0)-f(x_0)}{x_0-x_0}, [/mm] und das geht ja gar nicht ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
LG, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:40 Do 01.05.2008 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Hallo zusammen.
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> Ich kämpfe gerade mit der Definition der
> Differenzierbarkeit komplexer Funktionen...
>
> Wir übernehmen dazu einfach die Definition der
> Differenzierbarkeit reeller Funktionen, allerdings haben
> wir hier eine etwas andere Definition als ich sie bisher
> kannte...
>
> Ich kenne folgende Definition der Differenzierbarkeit
> reeller Funktionen:
>
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> Eine reelle Funktion f ist differenzierbar im Punkt [mm]x_0,[/mm]
> wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}\Delta(x)=\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm]
> existiert. Dieser Grenzwert heißt dann Ableitung.
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> Wir haben nun aber folgende Definition:
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> f ist differenzierbar in [mm]x_0,[/mm] wenn es in [mm]x_0[/mm] eine stetige
> Funktion [mm]\Delta[/mm] gibt, so dass die Darstellung
> [mm]f(x)=f(x_0)+(x-x_0)\Delta(x)[/mm] besteht. [mm]\Delta(x_0)[/mm] heißt
> dann der Wert der Ableitung.
>
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> [mm]\Delta(x)[/mm] ist wie oben der Differenzenquotient
> [mm]\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},[/mm] dass ergibt sich ja auch
> einfach aus umstellen der Formel.
>
> Wenn ich das dann mal "übersetze" heißt das ja quasi:
>
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>
> f ist differenzierbar in [mm]x_0,[/mm] wenn in [mm]x_0[/mm] die Formel des
> Differenzenquotienten besteht.
>
>
>
> Aber was ist mit der Existenz des Grenzwertes? Die wird ja
> garnicht erwähnt...
Stattdessen wird eine lineare Abbildung [mm] \Delta [/mm] erwähnt. In sie fließt diese Grenzwertbildung ein. Es ist so, dass WENN es sie gibt, dann ist sie eindeutig definiert und gleich den Grenzwerten der s.g. partiellen Differenzenquotienten. Wenn das zutrifft, dann muss auch der Grenzwert existieren.
Gruss,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Di 06.05.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> Stattdessen wird eine lineare Abbildung [mm]\Delta[/mm] erwähnt. In
> sie fließt diese Grenzwertbildung ein. Es ist so, dass WENN
> es sie gibt, dann ist sie eindeutig definiert und gleich
> den Grenzwerten der s.g. partiellen Differenzenquotienten.
> Wenn das zutrifft, dann muss auch der Grenzwert
> existieren.
Danke für deine Erklärung. Allerdings hab ich noch einige Fragen dazu:
1) Woher weißt du, dass [mm] \Delta [/mm] linear ist? Du weißt doch gar nicht genau, wie [mm] \Delta [/mm] aussieht, bis auf die Differenzenquotientenform. Ich weiß nicht, wie ich damit Linearität prüfen sollte.
2) In meiner Definition steht, dass [mm] \Delta [/mm] stetig sein soll. Da du dich gar nicht auf die Stetigkeit von [mm] \Delta [/mm] beziehst, ist sie dann nebensächlich?
3) Was hat Linearität mit Grenzwertbildung zu tun? Wieso fließt in sie die Grenzwertbildung ein?
4) Ist ein partieller Differenzenquotient das gleiche wie ein "normaler" Differenzenquotient?
5) Wieso sagst du, dass wenn [mm] \Delta [/mm] existiert, dass es dann gleich den Grenzwerten der Differenzenquotienten ist? [mm] \Delta [/mm] ansich ist doch erstmal nur der Differenzenquotient. Der Grenzwert des Differenzenquotienten ist doch erst gemeint, wenn ich [mm] \Delta [/mm] an der speziellen Stelle [mm] z_0 [/mm] betrachte, oder nicht? Das verwirrt mich grad irgendwie ein bisschen
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:56 Di 06.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Nadine!
> > Stattdessen wird eine lineare Abbildung [mm]\Delta[/mm] erwähnt. In
> > sie fließt diese Grenzwertbildung ein. Es ist so, dass WENN
> > es sie gibt, dann ist sie eindeutig definiert und gleich
> > den Grenzwerten der s.g. partiellen Differenzenquotienten.
> > Wenn das zutrifft, dann muss auch der Grenzwert
> > existieren.
>
>
>
> Danke für deine Erklärung. Allerdings hab ich noch einige
> Fragen dazu:
>
> 1) Woher weißt du, dass [mm]\Delta[/mm] linear ist? Du weißt doch
> gar nicht genau, wie [mm]\Delta[/mm] aussieht, bis auf die
> Differenzenquotientenform. Ich weiß nicht, wie ich damit
> Linearität prüfen sollte.
Die Funktion [mm] $\Delta$ [/mm] ist fast nie linear. Dormant meint etwas anderes: manchmal definiert man das auch so, dass man $f(x) = [mm] f(x_0) [/mm] + [mm] \Delta(x [/mm] - [mm] x_0) [/mm] + g(x)$ schreibt mit [mm] $\frac{g(x)}{x - x_0} \to [/mm] 0$ fuer $x [mm] \to x_0$, [/mm] und hier soll [mm] $\Delta$ [/mm] eine lineare Funktion sein. Eine lineare Funktion ist im eindimensionalen Fall durch einen Skalar gegeben, sagen wir mal [mm] $\delta$, [/mm] womit wir dann $f(x) = [mm] f(x_0) [/mm] + [mm] \delta \cdot [/mm] (x - [mm] x_0) [/mm] + g(x)$ haben. In dem Fall bezeichnet man die zu [mm] $\Delta$ [/mm] gehoerende Matrix -- das ist hier [mm] $\delta$ [/mm] -- als die Ableitung von $f$ in [mm] $x_0$. [/mm] (Das nennt sich totale Differenzierbarkeit.)
In deiner Definition wird [mm] $\delta \cdot [/mm] (x - [mm] x_0) [/mm] + g(x)$ zu einer Funktion zusammengefasst, naemlich [mm] $\Delta$. [/mm] Und die Bedingung [mm] $\frac{g(x)}{x - x_0} \to [/mm] 0$ fuer $x [mm] \to x_0$ [/mm] heisst gerade, dass [mm] $\Delta$ [/mm] in [mm] $x_0$ [/mm] stetig ist (und dort den Wert [mm] $\delta$ [/mm] annimmt).
Ich hoffe mal das beantwortet ein paar deiner folgenden Fragen :)
> 2) In meiner Definition steht, dass [mm]\Delta[/mm] stetig sein
> soll. Da du dich gar nicht auf die Stetigkeit von [mm]\Delta[/mm]
> beziehst, ist sie dann nebensächlich?
>
> 3) Was hat Linearität mit Grenzwertbildung zu tun? Wieso
> fließt in sie die Grenzwertbildung ein?
>
> 4) Ist ein partieller Differenzenquotient das gleiche wie
> ein "normaler" Differenzenquotient?
Dormant bezieht sich hier auf den $n$-dimensionalen Fall: der $(i,j)$-te Eintrag der Jacobimatrix ergibt sich dadurch, dass man die $i$-te Komponente der Funktion nach der $j$-ten Variable ableitet (oder umgekehrt, kann mir das nie merken). Hier ist allerdings alles eindimensional, womit der partielle Diff'quotient gleich dem normalen Diff'quotient ist.
> 5) Wieso sagst du, dass wenn [mm]\Delta[/mm] existiert, dass es dann
> gleich den Grenzwerten der Differenzenquotienten ist?
> [mm]\Delta[/mm] ansich ist doch erstmal nur der Differenzenquotient.
> Der Grenzwert des Differenzenquotienten ist doch erst
> gemeint, wenn ich [mm]\Delta[/mm] an der speziellen Stelle [mm]z_0[/mm]
> betrachte, oder nicht? Das verwirrt mich grad irgendwie ein
> bisschen
Zu deiner urspruenglichen Frage:
[mm] $\Delta$ [/mm] wird fuer $x [mm] \neq x_0$ [/mm] definiert als der Diff'quotient. Dass der Diff'quotient einen Grenzwert hat heisst gerade, dass man fuer [mm] $\Delta$ [/mm] in [mm] $x_0$ [/mm] so einen Funktionswert waehlen kann (naemlich den Grenzwert), dass [mm] $\Delta$ [/mm] in [mm] $x_0$ [/mm] stetig ist. Und damit ist [mm] $\Delta(x_0)$ [/mm] gleich dem Grenzwert des Diff'quotienten gleich der Ableitung von $f$ in [mm] $x_0$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Mi 07.05.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> Die Funktion [mm]\Delta[/mm] ist fast nie linear. Dormant meint
> etwas anderes: manchmal definiert man das auch so, dass man
> [mm]f(x) = f(x_0) + \Delta(x - x_0) + g(x)[/mm] schreibt mit
> [mm]\frac{g(x)}{x - x_0} \to 0[/mm] fuer [mm]x \to x_0[/mm], und hier soll
> [mm]\Delta[/mm] eine lineare Funktion sein. Eine lineare Funktion
> ist im eindimensionalen Fall durch einen Skalar gegeben,
> sagen wir mal [mm]\delta[/mm], womit wir dann [mm]f(x) = f(x_0) + \delta \cdot (x - x_0) + g(x)[/mm]
> haben. In dem Fall bezeichnet man die zu [mm]\Delta[/mm] gehoerende
> Matrix -- das ist hier [mm]\delta[/mm] -- als die Ableitung von [mm]f[/mm] in
> [mm]x_0[/mm]. (Das nennt sich totale Differenzierbarkeit.)
>
> In deiner Definition wird [mm]\delta \cdot (x - x_0) + g(x)[/mm] zu
> einer Funktion zusammengefasst, naemlich [mm]\Delta[/mm]. Und die
> Bedingung [mm]\frac{g(x)}{x - x_0} \to 0[/mm] fuer [mm]x \to x_0[/mm] heisst
> gerade, dass [mm]\Delta[/mm] in [mm]x_0[/mm] stetig ist (und dort den Wert
> [mm]\delta[/mm] annimmt).
Hmm, also irgendwie ist mir das nicht klar...
Ist das denn ausschlaggebend wichtig?
> Dormant bezieht sich hier auf den [mm]n[/mm]-dimensionalen Fall: der
> [mm](i,j)[/mm]-te Eintrag der Jacobimatrix ergibt sich dadurch, dass
> man die [mm]i[/mm]-te Komponente der Funktion nach der [mm]j[/mm]-ten
> Variable ableitet (oder umgekehrt, kann mir das nie
> merken). Hier ist allerdings alles eindimensional, womit
> der partielle Diff'quotient gleich dem normalen
> Diff'quotient ist.
Wie sieht denn ein solcher partieller Differenzenquotient aus?
> Zu deiner urspruenglichen Frage:
>
> [mm]\Delta[/mm] wird fuer [mm]x \neq x_0[/mm] definiert als der
> Diff'quotient. Dass der Diff'quotient einen Grenzwert hat
> heisst gerade, dass man fuer [mm]\Delta[/mm] in [mm]x_0[/mm] so einen
> Funktionswert waehlen kann (naemlich den Grenzwert), dass
> [mm]\Delta[/mm] in [mm]x_0[/mm] stetig ist. Und damit ist [mm]\Delta(x_0)[/mm] gleich
> dem Grenzwert des Diff'quotienten gleich der Ableitung von
> [mm]f[/mm] in [mm]x_0[/mm].
Ist [mm] \Delta [/mm] nur für den Grenzwert stetig in [mm] z_0?
[/mm]
Warum muss das überhaupt so sein mit der Stetigkeit?
Was wenn [mm] \Delta [/mm] nicht stetig wäre?
Irgendwie kann ich dass alles noch nicht zusammen bauen, diese komische Definition der Differenzierbarkeit ist mir völlig fremd.
Und jetzt kriegen wir auch noch den Kram mit partiellen Ableitungen *verzweifel*
LG, Nadine
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Die Sache ist einfach so:
Der Differenzenquotient ist selber eine Funktion (er wird ja aus f(z), [mm] f(z_0), [/mm] z und [mm] z_0 [/mm] gebildet), die aber in [mm] z=z_0 [/mm] nicht definiert ist (Nenner wird dort 0). Wenn aber der Grenzwert für z [mm] -->z_0 [/mm] existiert, nennt man diesen die Ableitung.
Baust du nun den ganzen Ausdruck um, erhältst du die Definition aus Eurer Vorlesung, wobei die entsprechende Funktion [mm] \Delta [/mm] stetig in [mm] z_O [/mm] sein soll; dies ist völlig gleichbedeutend mit der anderen Definition, dass [mm] \Delta [/mm] als Limes des Differenzenquotienten existiert.
Der Unterschied im Praktischen ist der:
mit Hilfe des Differenzenquotienten kannst du im konkreten Fall das [mm] \Delta [/mm] , also die Ableitung, berechnen. Beispiel wieder:
[mm] f(z)=z^2, \Delta (z_0)=\limes_{z\rightarrow\z_0}\bruch{z^2-z_0^2}{z-z_0}=\limes_{z\rightarrow\z_0}\bruch{(z+z_0)(z-z_0)}{z-z_0}=\limes_{z\rightarrow\z_0}(z+z_0)=2 z_0 [/mm] wie im Reellen.
Für manche Beweise ist es aber einfacher, die Schreibweise mit der in [mm] z_0 [/mm] stetigen Funktion zu verwenden, die man in dem Fall gar nicht konkret kennen muss, damit aber z.B. Faktorregel, Summenregel, Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel... beweist. Mehr steckt nicht dahinter.
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