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Hallo!
Ich habe da eine kleine Frage zu Eigenwerten einer Matrix. In welchen Fällen kann man sagen, dass falls [mm] \lambda [/mm] ein echt komplexer EW ist, daraus folgt, dass auch [mm] \lambda [/mm] konjugiert komplex ein EW ist?? Nur für reelle Matrizen??
Ich habe hier stehen, falls Die Matrix aus O(n) ist. Wozu braucht man das O(n)?
Danke schonmal für eine Antwort  Gruß, Garfield
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> Hallo!
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> Ich habe da eine kleine Frage zu Eigenwerten einer Matrix.
> In welchen Fällen kann man sagen, dass falls [mm]\lambda[/mm] ein
> echt komplexer EW ist, daraus folgt, dass auch [mm]\lambda[/mm]
> konjugiert komplex ein EW ist?? Nur für reelle Matrizen??
> Ich habe hier stehen, falls Die Matrix aus O(n) ist. Wozu
> braucht man das O(n)?
>
> Danke schonmal für eine Antwort Gruß, Garfield
Nun falls [mm] \lambda [/mm] ein EW einer reellen oder komplexen Matrix ist, bedeutet das ja nichts anderes, als dass [mm] \lambda [/mm] Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist. Ein wichtiges Resultat der Algebra besagt, dass wenn [mm] \lambda [/mm] eine komplexe Nullstelle eines Polynoms ist, dass dann auch immer [mm] \overline{\lambda} [/mm] (komplex konjugiert) Nullstelle dieses Polynoms ist. O(n) ist nichts weiter als die orthogonalen Matrizen aus [mm] \IR^{n \times n}[/mm] In [mm] \IC [/mm] ist das Entsprechende die Gruppe der unitären Matrizen U(n). Wozu man hier O(n) brauchen sollte, ist mir allerdings schleierhaft.
Gruss
EvenSteven
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Danke!
Aber unser Professor hat gesagt, dass das nicht unbedingt gilt, falls die Matrix auch komplexe Einträge hat, und dass es auf die reellen Koeffizienten im char. Pol. ankommen würde... ???!?!??
Stimmt das jetzt oder nicht?
Hilfe... :-(
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Hallo garfieldxxs,
> Aber unser Professor hat gesagt, dass das nicht unbedingt
> gilt, falls die Matrix auch komplexe Einträge hat, und dass
> es auf die reellen Koeffizienten im char. Pol. ankommen
> würde... ???!?!??
auch wenn dich Evenstevens Antwort anscheinend etwas irritiert hat: Er hat genau dasselbe gesagt. Tatsächlich gilt:
Alle nicht-reellen Eigenwerte treten in kompex-konjugierten Paar auf genau dann, wenn das charakteristische Polynom nur reelle Koeffizienten hat.
Es gibt allerdings auch nicht-reelle Matrizen, bei denen die Eigenwerte in komplex-konjugierten Paaren auftreten, zum Beispiel hermitsche Matrizen.
Jedenfalls gilt: Jede Matrix aus O(n) hat diese Eigenschaft, weil es sich hierbei um reelle Matrizen handelt.
Ist es dir jetzt etwas klarer?
Gruß, banachella
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Super - danke! Werde jetzt nochmal alles in Ruhe durchdenken und ein paar Beispiele anschauen, aber ich glaube, mir ist jetzt alles klar!!
Danke!
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