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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass der Absolutbetrag des Integrals [mm] \[\integral_{\gamma}{e^{-z^{2}/2}}dz\], [/mm] wo [mm] \[\gamma\] [/mm] entweder der Weg von [mm] \[R\] [/mm] nach [mm] \[R+ia\] [/mm] oder der Weg von [mm] \[-R\] [/mm] nach [mm] \[-R+ia\] [/mm] ist, für jede der beiden Wahlen für [mm] \[R\to\infty\] [/mm] gegen 0 geht. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zunächst einige eher qualitative Überlegungen: Im Reellen entspricht diese Funktion einer Gaußschen Glockenkurve, die bekanntlich sowohl in positiver als auch in negativer [mm] \[x\]-Richtung [/mm] gegen 0 geht. Weiters ist die komplexe Funktion analytisch auf ganz [mm] \[\IC\], [/mm] hat daher keine Residuen und somit ist das Integral über jede geschlossene Kurve 0. Ein uneigentliches reelles Integral lässt sich mit dem Residuensatz berechnen, indem man die zu integrierende Funktion komplex erweitert und den Integrationsweg mit einem Halbkreis oben/unten schließt und den Residuensatz anwendet. Im vorliegenden Fall ist es ähnlich, wenn ich zunächst die explizite Integration ausführe, d.h.
[mm] \[\integral_{\gamma}{e^{-z^{2}/2}dz=\integral_{0}^{a}}{i*e^{-(R+i*x)^{2}/2}}dx\]
[/mm]
Und an dieser Stelle bin ich momentan etwas verwirrt, denn die oben beschriebene Methode scheint jetzt nicht zu funktionieren. Wahrscheinlich habe ich bei der expliziten Integration irgendwo einen Fehler gemacht, wäre nett wenn mich jemand darauf hinweisen könnte. In den Integrationsgrenzen sollte ja ein [mm] \[R\] [/mm] auftauchen, damit man den Limes bilden kann...
P.S.: Dieses Beispiel ist bitter nötig für die nächste Aufgabe, die mir Kopfzerbrechen bereitet: Man soll zeigen, dass [mm] \[\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^{2}/2}}dx=\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-(x-i*a)^{2}/2}}dx\] [/mm] gilt. Und zwar mit dem Cauchyschen Integralsatz. Es ist auch in diesem Fall wieder intuitiv klar, denn die Funktion (im Komplexen) ist analytisch. Aber der formale Beweis fehlt mir auch hier.
Vielen Dank schon im Vorhinein an alle, die sich der Frage annehmen!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 So 10.06.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Zeigen Sie, dass der Absolutbetrag des Integrals
> [mm]\[\integral_{\gamma}{e^{-z^{2}/2}}dz\],[/mm] wo [mm]\[\gamma\][/mm]
> entweder der Weg von [mm]\[R\][/mm] nach [mm]\[R+ia\][/mm] oder der Weg von
> [mm]\[-R\][/mm] nach [mm]\[-R+ia\][/mm] ist, für jede der beiden Wahlen für
> [mm]\[R\to\infty\][/mm] gegen 0 geht.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Zunächst einige eher qualitative Überlegungen: Im Reellen
> entspricht diese Funktion einer Gaußschen Glockenkurve,
> die bekanntlich sowohl in positiver als auch in negativer
> [mm]\[x\]-Richtung[/mm] gegen 0 geht. Weiters ist die komplexe
> Funktion analytisch auf ganz [mm]\[\IC\],[/mm] hat daher keine
> Residuen und somit ist das Integral über jede geschlossene
> Kurve 0. Ein uneigentliches reelles Integral lässt sich
> mit dem Residuensatz berechnen, indem man die zu
> integrierende Funktion komplex erweitert und den
> Integrationsweg mit einem Halbkreis oben/unten schließt
> und den Residuensatz anwendet. Im vorliegenden Fall ist es
> ähnlich, wenn ich zunächst die explizite Integration
> ausführe, d.h.
>
> [mm]\[\integral_{\gamma}{e^{-z^{2}/2}dz=\integral_{0}^{a}}{i*e^{-(R+i*x)^{2}/2}}dx\][/mm]
> Und an dieser Stelle bin ich momentan etwas verwirrt, denn
> die oben beschriebene Methode scheint jetzt nicht zu
> funktionieren. Wahrscheinlich habe ich bei der expliziten
> Integration irgendwo einen Fehler gemacht, wäre nett wenn
> mich jemand darauf hinweisen könnte. In den
> Integrationsgrenzen sollte ja ein [mm]\[R\][/mm] auftauchen, damit
> man den Limes bilden kann...
Nein, das ist nicht so. Du sollst zeigen, dass der Absolutbetrag des Integrals im Limes [mm] $R\to\infty$ [/mm] gegen 0 geht, und dafür reicht es, den Absolutbetrag abzuschätzen.
Also:
[mm] \left|\integral_{\gamma}{e^{-z^{2}/2}dz\right|=\left|\integral_{0}^{a}}{i*e^{-(R+i*x)^{2}/2}}dx\right| \le \integral_{0}^{a}}\left|i*e^{-(R+i*x)^{2}/2}\right| dx [/mm] .
Den Term ganz rechts kannst du leicht abschätzen.
Dann musst du noch die gleiche Überlegung für den zweiten genannten Weg machen.
> P.S.: Dieses Beispiel ist bitter nötig für die nächste
> Aufgabe, die mir Kopfzerbrechen bereitet: Man soll zeigen,
> dass
> [mm]\[\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^{2}/2}}dx=\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-(x-i*a)^{2}/2}}dx\][/mm]
> gilt. Und zwar mit dem Cauchyschen Integralsatz. Es ist
> auch in diesem Fall wieder intuitiv klar, denn die Funktion
> (im Komplexen) ist analytisch. Aber der formale Beweis
> fehlt mir auch hier.
Ein uneigentliches Integral wie [mm] $\integral_{0}^{\infty}{e^{-x^{2}/2}}dx$ [/mm] ist ja als Grenzwert
[mm] \limes_{R\to\infty} \integral_{0}^{R}{e^{-x^{2}/2}}dx [/mm]
definiert. Überleg dir, wie du dieses Integral, das gesuchte Integral und die beiden bereits begeschätzten Integrale zu einem geschlossenen Weg zusammensetzen kannst.
Viele Grüße
Rainer
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Ja klar, für große [mm] \[R\] [/mm] wird der Absolutbetrag klein (geht gegen Null) im ersten Fall. Im zweiten Fall (der andere Weg) ist mir das nicht ganz klar. Zur zweiten Aufgabe: Ich habe die Abschätzungen noch nicht exakt, aber vermutlich wird der geschlossene Weg ein Rechteck der Höhe [mm] \[a\] [/mm] sein, wo die Funktion analytisch ist. Wie geht es aber weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:45 So 10.06.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ja klar, für große [mm]\[R\][/mm] wird der Absolutbetrag klein
> (geht gegen Null) im ersten Fall. Im zweiten Fall (der
> andere Weg) ist mir das nicht ganz klar.
Was ist dir nicht klar? Schreibe genau auf, wo du Probleme hast!
> Zur zweiten
> Aufgabe: Ich habe die Abschätzungen noch nicht exakt, aber
> vermutlich wird der geschlossene Weg ein Rechteck der Höhe
> [mm]a[/mm] sein, wo die Funktion analytisch ist. Wie geht es
> aber weiter?
Was ist denn das Integral einer analytischen Funktion über einen geschlossenen Weg?
Schreib dir das mal im Detail auf und stell dann deine Frage!
Viele Grüße
Rainer
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