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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - komplexe Gleichung
komplexe Gleichung < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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komplexe Gleichung: Lösen einer kompl. Gleichung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:08 Di 04.08.2015
Autor: mathelernender

Aufgabe
Bestimme alle komplexen Lösungen z [mm] \in \IC: [/mm]
[mm] z^{5} [/mm] + [mm] z^{2}= i*z^{2} [/mm]





Hallo,

ich komme beim Lösen der Gleichung auf kein Ergebnis und bräuchte dabei ein bisschen Hilfe.

Als 1. wollte ich die Gleichung in Polarkoordinaten umrechnen:

[mm] z^{5} [/mm] + [mm] z^{2} [/mm] = [mm] i*z^{2} \gdw [/mm]
[mm] z^{5} [/mm]  = [mm] i*z^{2} [/mm] - [mm] z^{2} \gdw [/mm]
[mm] z^{5} [/mm] = [mm] z^{2}(-1 [/mm] + 1i)

Muss ich hier noch durch [mm] z^2 [/mm] teilen? Bzw: Man sieht ja an der Ausgangsgleichung, dass 0 auch eine Lösung der Gleichung ist. Dann dürfte ich ja nicht durch [mm] z^2 [/mm] teilen, ich würde ja sonst durch 0 teilen...

Die allgemeine Lösung solcher Gleichungen mit einer komplexen Zahl z lautet ja nun:

[mm] z^{k} [/mm] = |z| * [mm] e^{\bruch{ \alpha + k*2\pi}{n}} [/mm]

mit k = 0,1...,n-1

Mich stört das [mm] z^{2} [/mm] in der Gleichung. Der Betrag der komplexen Zahl müsste ja hier [mm] \wurzel{2} [/mm] sein.

Ich würde mich freuen wenn mir hier jemand hilft.

Vielen Dank und viele Grüße :)


        
Bezug
komplexe Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:30 Di 04.08.2015
Autor: reverend

Hallo,

das fängt doch gut an.

> Bestimme alle komplexen Lösungen z [mm]\in \IC:[/mm]
>  [mm]z^{5}[/mm] +
> [mm]z^{2}= i*z^{2}[/mm]
>  
>
> Hallo,
>  
> ich komme beim Lösen der Gleichung auf kein Ergebnis und
> bräuchte dabei ein bisschen Hilfe.
>
> Als 1. wollte ich die Gleichung in Polarkoordinaten
> umrechnen:
>  
> [mm]z^{5}[/mm] + [mm]z^{2}[/mm] = [mm]i*z^{2} \gdw[/mm]
>  [mm]z^{5}[/mm]  = [mm]i*z^{2}[/mm] - [mm]z^{2} \gdw[/mm]
>  
> [mm]z^{5}[/mm] = [mm]z^{2}(-1[/mm] + 1i)

Soweit richtig, aber das sind ja noch keine Polarkoordinaten.

> Muss ich hier noch durch [mm]z^2[/mm] teilen? Bzw: Man sieht ja an
> der Ausgangsgleichung, dass 0 auch eine Lösung der
> Gleichung ist. Dann dürfte ich ja nicht durch [mm]z^2[/mm] teilen,
> ich würde ja sonst durch 0 teilen...

Stimmt schon, $z=0$ ist eine Lösung. Die drei übrigen findest Du, wenn Du die Gleichung eben unter Ausschluss von $z=0$ durch [mm] z^2 [/mm] teilst.

Im übrigen ist [mm] |z|=\wurzel[6]{2} [/mm]

Grüße
reverend

> Die allgemeine Lösung solcher Gleichungen mit einer
> komplexen Zahl z lautet ja nun:
>  
> [mm]z^{k}[/mm] = |z| * [mm]e^{\bruch{ \alpha + k*2\pi}{n}}[/mm]
>  
> mit k = 0,1...,n-1
>  
> Mich stört das [mm]z^{2}[/mm] in der Gleichung. Der Betrag der
> komplexen Zahl müsste ja hier [mm]\wurzel{2}[/mm] sein.
>  
> Ich würde mich freuen wenn mir hier jemand hilft.
>  
> Vielen Dank und viele Grüße :)
>  


Bezug
                
Bezug
komplexe Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:42 Di 04.08.2015
Autor: mathelernender

Hi,

alles klar soweit.

also:

Für die Polarkoordinaten brauche ich den Betrag und den Winkel der komplexen Zahl:
Meine Gleichung sieht nach dem teilen wie folgt aus:

[mm] z^{3} [/mm] = (-1 + 1i)

und das in Polarkoordinaten ist doch dann:

[mm] z^{3} [/mm] = (-1 + 1i) = |(-1 + 1i)| = sqrt(2) + [mm] e^{\bruch{3}{4} * \pi} [/mm]

soweit korrekt?

Meine Lösungen der Gleichungen sind doch dann:

[mm] z^{k} [/mm] = [mm] (\wurzel{2})^{1/3} [/mm] * [mm] e^{\bruch{ \bruch{3}{4} + k\cdot{}2\pi}{3}} [/mm] mit k=0,1,2?

bzw: wie kommst Du auf 6. Wurzel von 2?

Bezug
                        
Bezug
komplexe Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:46 Di 04.08.2015
Autor: abakus

... dir dritte Wurzel der Quadratwurzel ist nun mal die sechste Wurzel...
[mm] $(a^n)^m=a^{nm}$ [/mm] mit [mm] $n=\frac12$ [/mm] und  [mm] $m=\frac13$  [/mm]
 

Bezug
                                
Bezug
komplexe Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:47 Di 04.08.2015
Autor: mathelernender

ja korrekt, stimmt. Sorry :-/

Bezug
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