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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:34 Mo 12.07.2010 | | Autor: | jasper92 |
Hallo zusammen,
Versuche gerade alle Lösungen der Gleichung:
[mm] z^{24} [/mm] = [mm] \bruch{1-i}{\sqrt{2}} [/mm] zu bestimmen aber iwie hab ich glaub nen falschen Ansatz gewählt. Und zwar hab' ich den Term 1-i einfach als [mm] \wurzel{2}e^{\bruch{-\pi}{4}} [/mm] geschrieben. Stimmt das soweit?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 Mo 12.07.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo zusammen,
> Versuche gerade alle Lösungen der Gleichung:
> [mm]z^{24}[/mm] = [mm]\bruch{1-i}{\sqrt{2}}[/mm] zu bestimmen aber iwie hab
> ich glaub nen falschen Ansatz gewählt. Und zwar hab' ich
> den Term 1-i einfach als [mm]\wurzel{2}e^{\bruch{-\pi}{4}}[/mm]
> geschrieben. Stimmt das soweit?
Nein, da fehlt ein Faktor i im Exponeneten:
[mm] 1-i = \sqrt{2} \exp\left(-\bruch{\pi}{4} \red{i} \right) [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Mo 12.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Dürfte man denn hier auch diesen Weg gehen?
[mm] z=(\bruch{1}{\wurzel{2}}-\bruch{i}{\wurzel{2}})^{\bruch{1}{24}}
[/mm]
Dann Betragsvergleich und Argumentenvergleich machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:30 Mo 12.07.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo lzaman!
Ja, man dürfte auch diesen Weg gehen, der mir aber sehr mühsam und steinig erscheint.
Mit der  Moivre-Formel geht das m.E. viel schneller (was hier aber auch schon eine Menge Arbeit macht).
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 Mo 12.07.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo zusammen,
> Versuche gerade alle Lösungen der Gleichung:
> [mm]z^{24}[/mm] = [mm]\bruch{1-i}{\sqrt{2}}[/mm] zu bestimmen aber iwie hab
> ich glaub nen falschen Ansatz gewählt. Und zwar hab' ich
> den Term 1-i einfach als [mm]\wurzel{2}e^{\bruch{-\pi}{4}}[/mm]
> geschrieben. Stimmt das soweit?
Hallo,
bereits 1-i hat den Betrag [mm] \wurzel{2}, [/mm] Wenn man das noch durch [mm] \wurzel{2} [/mm] teilt, erhält man eine Zahl mit dem Betrag 1.
Also gilt [mm] z^{24}=cos [/mm] -45°+i*sin -45°
bzw. [mm] z^{24}=cos \bruch{-\pi}{4}+i*sin \bruch{-\pi}{4}
[/mm]
Jetzt Formel von Moivre...
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Mo 12.07.2010 | | Autor: | jasper92 |
Vielen Dank für eure schnellen Antworten.
Ok muss ich dann einfach
($ cos [mm] \bruch{-\pi}{4}+i\cdot{}sin \bruch{-\pi}{4} $)^{24} [/mm] nehmen was nach Moivre ja das gleiche ist wie
$ cos [mm] \bruch{-24\pi}{4}+i\cdot{}sin \bruch{-24\pi}{4} [/mm] $= $ cos [mm] -6\pi+i\cdot{}sin -6\pi [/mm] $= 1+0 = 1
Kann man das wirklich so einfach machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 Mo 12.07.2010 | | Autor: | abakus |
> Vielen Dank für eure schnellen Antworten.
> Ok muss ich dann einfach
> ([mm] cos \bruch{-\pi}{4}+i\cdot{}sin \bruch{-\pi}{4}[/mm][mm] )^{24}[/mm]
> nehmen was nach Moivre ja das gleiche ist wie
Nein, umgekehrt:
[mm] z^{24}=( [/mm] cos [mm] \bruch{-\pi}{4}+i\cdot{}sin \bruch{-\pi}{4})
[/mm]
Es gibt nun insgesamt 24 verschiedene Winkel [mm] \phi, [/mm] für deren 24-faches gilt
cos [mm] 24\phi=cos \bruch{-\pi}{4} [/mm] und sin [mm] 24\pi=sin\bruch{-\pi}{4}
[/mm]
> [mm]cos \bruch{-24\pi}{4}+i\cdot{}sin \bruch{-24\pi}{4} [/mm]= [mm]cos -6\pi+i\cdot{}sin -6\pi [/mm]=
> 1+0 = 1
> Kann man das wirklich so einfach machen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Mo 12.07.2010 | | Autor: | jasper92 |
Oh je und wie bestimmt man diese Winkel. Reicht es nicht einen zu ermitteln und die anderen einfach als Vielfache des einen zu bestimmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 Mo 12.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Oh je und wie bestimmt man diese Winkel. Reicht es nicht
> einen zu ermitteln und die anderen einfach als Vielfache
> des einen zu bestimmen?
generell: Schau' Dir mal an, was Lösungen der komplexen Gleichung [mm] $z^n=q$ [/mm] in [mm] $z\,$ [/mm] (mit einem $n [mm] \in \IN$, [/mm] $q [mm] \in \IC$, [/mm] $z [mm] \in \IC$) [/mm] mit einem regelmäßigen [mm] $n\,$-Eck [/mm] zu tun hat, und was es da für einen Zusammenhang mit 360°/n bzw. [mm] $2\pi/n$ [/mm] gibt. (Z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier).
Bzgl. Deiner Aufgabe:
Du weißt doch, dass für $k [mm] \in \IZ$ [/mm] dann
[mm] $$(\*)\;\;24\phi_k=-\frac{\pi}{4}+k*2\,\pi$$
[/mm]
gilt.
(Ich finde es übrigens schöner, wenn man alles mit der [mm] "$e^{ix}$"-Darstellung [/mm] rechnet:
[mm] $$z^{24}=\underbrace{\frac{1}{\sqrt{2}}+i*\frac{(-1)}{\sqrt{2}}}_{=:q}=|q|*e^{i \phi},$$
[/mm]
wobei Du sicher weißt, wie dieses $0 [mm] \le \phi=\phi_q [/mm] < [mm] 2\pi$ [/mm] zu berechnen ist. (Da man sich das elementargeometrisch herleiten kann, verzichte ich immer darauf, mir dafür eine Formel zu behalten.)
Oben wäre halt besser [mm] $\phi_q=\frac{7}{8}\pi$ [/mm] zu wählen, wenn man $0 [mm] \le \phi=\phi_q [/mm] < [mm] 2\pi$ [/mm] erfüllt haben will.)
Also hier mit analogen Überlegungen für [mm] $z\,$ [/mm] und [mm] $\phi=\phi_z$:
[/mm]
[mm] $${\underbrace{\blue{z}}_{\blue{=|z|e^{i*\phi}}}\!\!\!\!\!}^{24}=\frac{1}{\sqrt{2}}+i*\frac{(-1)}{\sqrt{2}}$$
[/mm]
[mm] $$\gdw |z|^{24}\underbrace{e^{i*24\phi}}_{=(e^{i*\phi})^{24}}=1*\;e^{i*\left(\frac{7}{8}\pi+k*2\pi\right)}\,.$$
[/mm]
Also muss [mm] $|z|^{24}=1$ [/mm] (und damit auch $|z|=1$) gelten und zudem
[mm] $$24\phi=\frac{7}{8}\pi+k*2\pi\,,$$
[/mm]
wobei Du nun [mm] $\phi=\phi_k$ [/mm] schreiben solltest, um klarzumachen, dass es für verschiedene [mm] $k\,$ [/mm] auch verschiedene [mm] $\phi$ [/mm] gibt.
(Beachte auch: [mm] $z_1=z_2 \gdw |z_1|=|z_2| \text{ und in den Darstellungen }z_i=|z_i|e^{i*\phi_i}$ ($\phi_i \in \IR$) [/mm] gilt [mm] $(\phi_1-\phi_2)/(2\pi) \in \IZ$. [/mm] Fordert man für beide [mm] $i\,$ [/mm] dass $0 [mm] \le \phi_i [/mm] < [mm] 2\pi\,,$ [/mm] so läßt sich die letzte Bedingung zu [mm] $\phi_1=\phi_2$ [/mm] umschreiben.)
Löst Du nun nach [mm] $\phi=\phi_k$ [/mm] auf, so steht da
[mm] $$\red{(\*\*)}\;\;\phi_k=\frac{\frac{7}{8}\pi+k*2\pi}{24}=\ldots$$
[/mm]
Nun mache Dir noch folgendes klar:
$$0 [mm] \le \phi_k [/mm] < [mm] 2\pi$$
[/mm]
[mm] $$\gdw [/mm] 0 [mm] \le \frac{7}{8}\pi+k*2\pi [/mm] < [mm] 24*2\pi\,.$$
[/mm]
D.h., durchlaufe in [mm] $\red{(\*\*)}$ $k=0,\ldots,23$ [/mm] und Du hast alle Winkel gefunden (danach kommen "keine wirklichen neue, da man bei einem Kreis nach einer 360° bzw. [mm] $2\pi$-Drehung [/mm] wieder auf dem selben Randpunkt ankommt").
P.S.:
Bei der Darstellung aus [mm] $(\*)$ [/mm] will man ja auch nicht "Winkel mehrmals nennen", d.h. auch dort könntest Du durchaus einfach [mm] $\underline{24\;\;(=n)}$[u] [/mm] aufeinanderfolgende Werte für [mm] $\underline{k}\,$ [/mm] einsetzen.[/u]
Beste Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:43 Di 13.07.2010 | | Autor: | jasper92 |
Besten Dank für deine ausführliche Erklärung. Hab's dank dessen jetzt endlich verstanden :)
Viele Grüße
jasper
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