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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 Mi 11.07.2007 | | Autor: | Jonez |
| Aufgabe | Berechne das folgende komplexe Kurvenintegral längs (nicht geschlossener) Kurve [mm]\alpha[/mm] in [mm]\IC[/mm].
[mm]\integral_{\alpha}{f(z cos(z^{2})) dz},
\alpha(t)=\wurzel{t} + i(t - \pi/2)sin(t), t \in [\pi/2, \pi].[/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi,
die oben gestellte Aufgabe ist von einer früheren Klausur auf die ich mich gerade vorbereite, jedoch hab ich keine Ahnung wie ich das einigermaßen schnell lösen kann.
Dass ich ein komplexes Kurvenintegral mit
[mm]\integral_{\alpha}{f(z) dz} = \integral_{a}^{b}{f(\alpha(t))*\alpha'(t) dt}[/mm]
ausrechne, weiß ich, allerdings scheint mit das etwas zu kompliziert für die Aufgabe zu werden...
Achja, das Ergebnis ist:
[mm]\bruch{sin(z^{2})}{2}|_{\wurzel{\pi/2}}^{\wurzel{\pi}}=-\bruch{1}{2}[/mm]
Hat jemand eine Idee wie sich das lösen lässt?
Irgendeine Vereinfachung muss es ja anscheinend geben, da nicht von [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] bis [mm]\pi[/mm] integriert wurde, sondern nur von [mm]\wurzel{\bruch{\pi}{2}}[/mm] bis [mm]\wurzel{\pi}[/mm].
Danke,
Jonas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:29 Mi 11.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Berechne das folgende komplexe Kurvenintegral längs (nicht
> geschlossener) Kurve [mm]\alpha[/mm] in [mm]\IC[/mm].
> [mm][mm] \integral_{\alpha}{f(z cos(z^{2})) dz},
[/mm]
meinst du nicht vielleicht [mm]\integral_{\alpha}{z cos(z^{2}) dz}[/mm]
dann ist mit [mm] z^2=w [/mm] der Integrand [mm] $1/2\cos [/mm] w dw$.
damit gehts dann direkt!
Gruss leduart
[mm]\alpha(t)=\wurzel{t} + i(t - \pi/2)sin(t), t \in [\pi/2, \pi].[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 Mi 11.07.2007 | | Autor: | Jonez |
Hi,
ja, das f(...) war zuviel.
Aber wenn ich jetzt einfach substituiere sollte ich als Integrand doch einfach [mm]\wurzel{w}\cos w dw[/mm] bekommen...? Wie kommst Du auf [mm]1/2\cos w dw[/mm] ?
Aber okay, ich würde dann auch die Stammfunktion finden, aber was bringt mir die in dem Moment? Ich muss ja entlang des gegebenen Weges integrieren und erst danach die Stammfunktion finden... oder?
Sorry bin da vielleicht ein bisschen arg langsam :/
Danke,
Jonas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 Mi 11.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst doch auch dz ersetzen! dw=2zdz!
und wie hängt den das Integral von Anfangs und Endpkt ab, und wie vom Weg?
übrigens, auch in die Stammfkt kannst du wenn dir das erste nicht einleuchtet den Weg einstzen!
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Do 12.07.2007 | | Autor: | Jonez |
Hi,
und nochmal Danke.
Okay, also wenn ich das jetzt recht verstehe versuch ich erstmal eine Stammfunktion durch "Integration durch Substitution" unabhängig vom Weg zu finden.
Wenn ich dann diese hab, berechne ich den Start- und Entpunkt des Weges und berechne dann einfach F(b) - F(a) ??
Also verwende gar nicht die Formel: [mm]\integral_{\alpha}{f(z) dz} = \integral_{a}^{b}{f(\alpha(t))\cdot{}\alpha'(t) dt}[/mm]
Aber dann hängt das Integral ja gar nicht vom weg ab..?
Muss ich hier noch irgendwie mit Wegunabhängigkeit argumentieren?
Danke,
Jonas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 Do 12.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
WENN du eine Stammfunktion kennst, kennst du auch das Kurvenintegral! [mm] (sin(c^2(t))'=2c(t)*cos(c(t)^2)*c'(t)
[/mm]
leuchtet es dir jetzt ein?
(Vom Weg unabhängig ist es nebenbei auch, da die fkt ja nirgens Singularitäten hat!)
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:52 Do 12.07.2007 | | Autor: | Jonez |
Hi,
ja das leuchtet mir jetzt ein 
Danke nochmal !!
Jonas
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