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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:08 Sa 24.07.2010 | | Autor: | stffn |
| Aufgabe | Berechnen Sie alle komplexen Lösungen der Gleichung:
[mm] z^3-8i=0.
[/mm]
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Guten Abend,
ich erwarte zwar nicht jetzt noch eine Antwort zu bekommen und muss somit wahrscheinlich mit der Aufgabe im Hinterkopf schlafen gehen, aber trotzdem:
Also, ich wusste zwar dass [mm] i=cos(\bruch{\pi}{2})+isin(\bruch{\pi}{2})=e^{i\bruch{\pi}{2}} [/mm] ist, hab mir dann allerdings einen kleinen Blick auf die Musterlösung erlaubt und musste mich wundern. Folgendes stand da:
[mm] 8i=8e^{i\bruch{\pi}{2}}=8e^{i\bruch{\pi}{2}+2*k*\pi*i}=8e^{i\pi(\bruch{1}{2}+2k)}
[/mm]
[mm] \Rightarrow z=e^{i*\pi*(\bruch{1}{6}+\bruch{2k}{3})}
[/mm]
[mm] z_{1}=2e^{i\pi\bruch{1}{6}}
[/mm]
[mm] z_{2}=2e^{i\pi\bruch{5}{6}}
[/mm]
[mm] z_{3}=2e^{i\pi\bruch{9}{6}}.
[/mm]
Der Schritt von hier [mm] 8e^{i\bruch{\pi}{2}} [/mm] nach hier [mm] 8e^{i\bruch{\pi}{2}+2k\pii} [/mm] ist mir unklar.
Wo genau kommt das [mm] 2*k*\pi*i [/mm] her und was hat es zu bedeuten?
Wenn ich das weiß, komm ich vielleicht von alleine drauf, wie sich die nächsten Schritte ergeben.
Hoffentlich kann mir jemand helfen.
Schönes Wochenende!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:18 Sa 24.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Du musst hier beachten, dass eine Komplexe Zahl ein sogenanntes Argument hat, welches über den Winkel [mm] 2*\pi [/mm] hinaus geht. Salopp: Argument ist also der etwas fachlichere Begriff für Winkel.
Du hasst jetzt die Komplexe Zahl 8i. Die hat das Argument [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] + [mm] 2*\pi*k, [/mm] wobei k eine Natürliche Zahl ist.
Du kannst ja immer [mm] 2*\pi [/mm] dazuzuählen, die Komplexe Zahl bleibt *eigentlich* die selbe.
Jetzt sollst du die 3. Wurzel ziehen. Du weisst sicher schon das die N-Wurzeln von Komplexen Zahlen n lösungen besitzen. Das kommt daher, weil eben die Komplexe Zahl ein Argument hat.
Begreifen, wieso das so ist, tust du am Besten, wenn du alle 3 erhaltenen Lösungen in die Komplexe Ebene einzeichnest und diese je Graphisch hoch 3 nimmst.
Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:25 Sa 24.07.2010 | | Autor: | stffn |
Ok danke schonmal, eine Sache verstehe ich gerade trotzdem noch nicht:
Dass man zu dem Argument immer [mm] 2*\pi [/mm] dazurechnen kann, und das auch noch mit einer natürlichen Zahl k multiplizieren kann, finde ich logisch, aber warum steht da noch ein *i dahinter?
Schön dass doch noch Leute hier sind!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:46 Sa 24.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Ok danke schonmal, eine Sache verstehe ich gerade trotzdem
> noch nicht:
>
> Dass man zu dem Argument immer [mm]2*\pi[/mm] dazurechnen kann, und
> das auch noch mit einer natürlichen Zahl k multiplizieren
> kann, finde ich logisch, aber warum steht da noch ein *i
> dahinter?
>
> Schön dass doch noch Leute hier sind!
[mm] z\mapsto e^{z} [/mm] ist auf [mm] \IC [/mm] nicht injektiv. Es gilt
[mm] e^{z_1}=e^{z_2}\gdw z_1=z_2+2\pi*i*k [/mm] mit [mm] k\in\IZ.
[/mm]
oder mit z=a+ib [mm] (a,b\in\IR)
[/mm]
[mm] e^{a_1+ib_1}=e^{a_2+ib_2}\gdw (a_1+ib_1=a_2+ib_2+2\pi*i*k [/mm] mit [mm] k\in\IZ)\gdw (a_1=a_2 \wedge b_1=b_2+2\pi*k [/mm] mit [mm] k\in\IZ)
[/mm]
oder mit [mm] r:=e^{a} [/mm] (injektiv) und [mm] \phi=b [/mm] für [mm] r\not=0, [/mm] da [mm] e^a\not=0:
[/mm]
[mm] r_1*e^{i\phi_1}=r_2*e^{i\phi_2}\gdw (r_1=r_2\wedge \phi_1=\phi_2+2\pi*k [/mm] mit [mm] k\in\IZ)
[/mm]
LG
gfm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Sa 24.07.2010 | | Autor: | stffn |
Vielen Dank für die präzise Erläuterung!
Setze ich jetzt für k 0, 1 und 2 ein, weil ich weiß, dass die 3. Wurzel genau 3 Lösungen hat? Und was wäre, wenn ich 1, 2 und 3 einsetzen würde?
Oder kann ich mir das völlig frei aussuchen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:51 Sa 24.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Vielen Dank für die präzise Erläuterung!
>
> Setze ich jetzt für k 0, 1 und 2 ein, weil ich weiß, dass
> die 3. Wurzel genau 3 Lösungen hat? Und was wäre, wenn
> ich 1, 2 und 3 einsetzen würde?
> Oder kann ich mir das völlig frei aussuchen?
Man sucht sich die Lösungen, die in das Intervall [mm] [0,2\pi) [/mm] fallen. Wenn man von einer Gleichung [mm] f(re^{i\phi})=\rho e^{i\alpha} [/mm] mit gegebener rechter Seite ausgeht. Wird man bei vielleicht bei etwas wie
[mm] R(r,\phi)*e^{i\Phi(r,\phi)}=\rho e^{i\alpha}
[/mm]
herauskommen, was einen auf
[mm] R(r,\phi)=\rho [/mm] und [mm] \Phi(r,\phi)=\alpha+2\pi*k; k\in\IZ
[/mm]
führt. Mit viel Glück landet man am Ende für [mm] \phi [/mm] bei etwas wie
[mm] \phi=\Psi(\rho, \alpha+2\pi*k)
[/mm]
Und dann zählen nur die k, die zu [mm] \phi\in[0,2\pi) [/mm] führen.
Insofern kommt es hier auf natürlich zwingende Weise heraus, dass es drei Lösungen gibt.
LG
gfm
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 Sa 24.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank für die präzise Erläuterung!
>
> Setze ich jetzt für k 0, 1 und 2 ein, weil ich weiß, dass
> die 3. Wurzel genau 3 Lösungen hat? Und was wäre, wenn
> ich 1, 2 und 3 einsetzen würde?
> Oder kann ich mir das völlig frei aussuchen?
es ist richtig, wie gfm sagt, dass man meist fordert, dass die Winkel in einem gewissen Intervall liegen sollen. Das ganze hat aber den Hintergrund, dass man "nicht die gleichen komplexen Zahlen durch mehrere Winkelangaben wiederholen will".
Ich habe das ganze auch hier (genauer: hier) schonmal erwähnt.
Generell würde ich so vorgehen:
Bei einer "komplexen Gleichung mit Grad $n [mm] \ge [/mm] 1$" bekommst Du ja die [mm] $n\,$ [/mm] Lösungen mit den [mm] $n\,$ [/mm] Winkeln. Also setzt Du in Deine "Lösungsformel für [mm] $\phi_k$" [/mm] dann mit $k=m$ beginnend nacheinander die Werte
$$k=m, [mm] k=m+1,k=m+2\ldots,\,k=m+n-1$$
[/mm]
ein.
(Ich lasse den "Startwert" für [mm] $m\,$ [/mm] zunächst beliebig; einzig: es sollte $m [mm] \in \IZ$ [/mm] sein. Wählt man ihn geeignet, so liegen vielleicht schon alle Winkel in dem geforderten Intervall. Aber eigentlich sollte man es einfach so machen, dass man [mm] $n\,$ [/mm] direkt aufeinanderfolgende Zahlen für [mm] $k\,$ [/mm] einsetzt. [mm] $(\*)$)
[/mm]
Damit bekommst Du dann die [mm] $n\,$ [/mm] verschiedenen komplexen Lösungen, und wegen der [mm] $2\,\pi$-Periodizität [/mm] kannst Du die Winkel dann auch ggf. so verschieben, dass sie alle in das "vorgegebene, geeignete Intervall" fallen.
Schau' Dir das auch mal bei der Aufgabe im anderen Link an, dann wird das vermutlich klarer, was und wie ich das genau(er) meine.
P.S.:
Es ist halt klar:
Ist
[mm] $$P=\cos(x)+i*\sin(x)=e^{i*x}$$
[/mm]
ein Punkt des Einheitskreises in der komplexen Ebene, so kann man (wegen der [mm] $2\pi$-Periodizität [/mm] von $t [mm] \mapsto e^{it}\,,$ [/mm] welche sich z.B. aus der [mm] $2\pi$-Periodizität [/mm] des Sinus und des Kosinus ergibt) schreiben:
[mm] $$P=e^{i*(x+k*2\pi)}\;\;(k \in \IZ)\,.$$
[/mm]
Beschränkt man aber die Argumente [mm] $x\,$ [/mm] auf ein "einseitig abgeschlossenes, anderseitig offenes Intervall [mm] $I\,$ [/mm] der Länge [mm] $2\pi$", [/mm] so ist die Abbildung
$$t [mm] \mapsto e^{it}$$
[/mm]
als Abbildung $I [mm] \to \{r+i*s: r,s \in \IR \text{ und }r^2+s^2=1\}$ [/mm] bijektiv, insbesondere injektiv.
@ [mm] $(\*)$:
[/mm]
Natürlich ist das nicht notwendig, denn z.B. könnte man auch nacheinander
$$k=m, k=m+(n+1), k=m+2n+2, [mm] k=m+3n+3,\ldots$$
[/mm]
einsetzen, um [mm] $n\,$ [/mm] verschiedene komplexe Zahlen zu erhalten.
Jedenfalls, wenn man
[mm] $$\varphi_k=\varphi_{k+n}$$
[/mm]
erkennt.
Beste Grüße,
Marcel
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