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komplexe Zahl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:48 Mo 12.11.2007
Autor: Toni908

Hallo!

ich muss eine Tabelle vervollständigen und habe bei einigen Teilen probleme.

a)
ich hab 1/z gegeben und will z herauskriegen

1/z= 1-i

was ist z?

b)

ich habe den Betrag und das Argument von z gegeben und möchte z herausbekommen.

|z|= [mm] \wurzel{5} [/mm]
[mm] arg(z)=5\pi/6 [/mm]

was ist z?

c)

ich habe z² und arg(z) gegeben, was ist z?
z²=-1
arg(z)= [mm] \in \pi, 2\pi [/mm]

d)

ich habe z=1/i gegeben, was ist 1/z?

1/1/i ?

und was ist das arg(z)

Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Gruß, Toni

        
Bezug
komplexe Zahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:58 Mo 12.11.2007
Autor: Martinius

Hallo,


> ich muss eine Tabelle vervollständigen und habe bei einigen
> Teilen probleme.
>  
> a)
>  ich hab 1/z gegeben und will z herauskriegen
>  
> 1/z= 1-i
>  
> was ist z?

Nun, z ist offensichtlich der Kehrwert der rechten Seite, also

$z = [mm] \bruch{1}{1-i}$ [/mm]

Wenn Du eine komplexe Zahl in kartesischer Form im Nenner hast, sollte gleich der Reflex kommen, den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner zu erweitern:

[mm]z = \bruch{1+i}{(1-i)*(1+i)} = \bruch{1+i}{1^2-i^2} = \bruch{1+i}{2} = 0,5 + 0,5i [/mm]

  

> b)
>  
> ich habe den Betrag und das Argument von z gegeben und
> möchte z herausbekommen.
>  
> |z|= [mm]\wurzel{5}[/mm]
>  [mm]arg(z)=5\pi/6[/mm]
>  
> was ist z?

Die Umrechnung von der kartesischen Form in die Polarform steht bestimmt irgendwo in deinem Mathe-Buch, Formelsammlung oder in deinem Skript.

[mm]z = \wurzel{5}*exp\left(\bruch{5}{6}\pi\right) = \wurzel{5}*\left(cos\left(\bruch{5}{6}\pi\right)+i*sin\left(\bruch{5}{6}\pi\right)\right) = -\wurzel{\bruch{3}{4}}*\wurzel{5}+\bruch{1}{2}*\wurzel{5}[/mm]

  

> c)
>  
> ich habe z² und arg(z) gegeben, was ist z?
>  z²=-1
>  arg(z)= [mm]\in \pi, 2\pi[/mm]

>

Die Gleichung [mm] z^2 [/mm] = -1 hat ja 2 Lösungen:

[mm] $z^2 [/mm] = -1 = [mm] 1*e^{i\pi} [/mm] = [mm] 1*e^{i(\pi+k*2\pi)}$ [/mm]

$z = [mm] \wurzel{1}*exp\left(\bruch{i(\pi+k*2\pi)}{2}\right)$ [/mm]     mit k = 0,1

also [mm] z_1 [/mm] = [mm] e^{i*0,5\pi} [/mm] = i  und [mm] z_2 [/mm] = [mm] e^{i*1,5\pi} [/mm] = -i .

Wenn Du mit deiner Angabe meinst, dass das Argument von z im Intervall [mm] [\pi;2\pi] [/mm] liegen soll, dann ist [mm] z_2 [/mm] die Lösung.

  

> d)
>  
> ich habe z=1/i gegeben, was ist 1/z?
>  
> 1/1/i ?

Ja, genau. Und 1/1/i müsste ja i sein.

> und was ist das arg(z)

Wie bereits oben erwähnt mit dem konjugiert komplexen Nenner erweitern:

$z = [mm] \bruch{1}{i}=\bruch{-i}{i*(-i)} [/mm] = -i$

Malst Du dir -i in die Gaußsche Zahlenebene, findest Du:

arg(z) = [mm] \bruch{3}{2}\pi [/mm]

  
LG, Martinius


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