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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:54 Di 23.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Für folgende Aufgabe fehlt mir ein Ansatz:
Sei x eine reelle Zahl. Man beweise [mm] \bruch{1+ix}{1-ix}=e^{2i\varphi}, [/mm] wobei [mm] \varphi=\arctan{x}.
[/mm]
Wer kann mir einen geben?
viele Grüße
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:04 Di 23.08.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Christiane!
Ich möchte dir nur kurz anschaulich ein wenig helfen:
Stelle dir die gegebenen komplexen Zahlen $1+ix$ und $1-ix$ in der Gaußschen Zahlenebene vor. Beide sind lediglich konjugiert komplex, insbesondere besitzen sie gleichen Betrag. Da der Betrag des Quotienten zweier komplexer Zahlen dem Quotienten der Beträge der beiden komplexen Zahlen entspricht, folgt schon einmal, dass die komplexe Zahl [mm] $\frac{1+ix}{1-ix}$ [/mm] den Betrag 1 haben muss, d.h. auf dem Einheitskreis liegt. Sei ferner [mm] $\varphi$ [/mm] der Winkel, den $1+ix$ mit der Realachse einschließt, dann ist [mm] $-\varphi$ [/mm] der Winkel, den $1-ix$ mit der Realachse einschließt. Wie du weißt, bewirkt eine Multiplikation zweirr komplexer Zahlen eine Drehstreckung; eine Division bewirkt eine Art "Drehstauchung", wo jedoch beachtet werden muss, dass mit dem Urzeigersinn gedreht wird. Dividierst du also $1+ix$ durch $1-ix$, so wird $1+ix$ um [mm] $-\varphi$ [/mm] mit, d.h. um [mm] $\varphi$ [/mm] Grad gegen den Uhrzeigersinn gedreht - der von [mm] $\frac{1+ix}{1-ix}$ [/mm] und der Realachse eingeschlossene Winkel muss also [mm] $2\varphi$ [/mm] betragen. Damit wissen wir schon alles, was wir benötigen: der Betrag von [mm] $\frac{1+ix}{1-ix}$ [/mm] ist $1$ und der Winkel mit der Realachse ist [mm] $2\varphi$. [/mm] Es folgt: [mm] $\frac{1+ix}{1-ix} [/mm] = [mm] e^{i2\varphi}$. [/mm] Den Winkel [mm] $\varphi$ [/mm] können wir noch schnell bestimmen: er ist schlicht der Arkustangens der Quotienten aus Imaginär- und Realteil, sprich [mm] $\frac{x}{1}=x$.
[/mm]
So, das war jetzt bewusst nicht auf Formalität sondern auf Anschauung abgerichtet - ich hoffe, es hat dir geholfen.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 Mi 24.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan, lieber Hanno!
@Stefan: Hatte ich es doch richtig im Kopf, dass ich das schon mal hatte. Aber ich hätte nicht gewusst, wo ich das hier suchen soll... Wie lange hast du gebraucht, um es zu finden?
@Hanno: Vielen Dank für deine Erklärung, ich habe fast alles verstanden. 
> Damit wissen wir schon alles,
> was wir benötigen: der Betrag von [mm]\frac{1+ix}{1-ix}[/mm] ist [mm]1[/mm]
> und der Winkel mit der Realachse ist [mm]2\varphi[/mm]. Es folgt:
> [mm]\frac{1+ix}{1-ix} = e^{i2\varphi}[/mm]. Den Winkel [mm]\varphi[/mm]
> können wir noch schnell bestimmen: er ist schlicht der
> Arkustangens der Quotienten aus Imaginär- und Realteil,
> sprich [mm]\frac{x}{1}=x[/mm].
Das einzige, was ich noch nicht verstanden habe, ist, wie man auf den Arkustangens kommt. Du hast das hier in einen kurzen Satz geschrieben, kann man das wirklich so kurz verstehen? Oder muss ich da auf Pauls Erklärung zurückgreifen? Könntest du mir deinen letzten Satz etwas genauer erläutern?
> So, das war jetzt bewusst nicht auf Formalität sondern auf
> Anschauung abgerichtet - ich hoffe, es hat dir geholfen.
Ja, auf jeden Fall. Vielen Dank.
Viele Grüße
Christiane
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:27 Mi 24.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> @Stefan: Hatte ich es doch richtig im Kopf, dass ich das
> schon mal hatte. Aber ich hätte nicht gewusst, wo ich das
> hier suchen soll... Wie lange hast du gebraucht, um es zu
> finden?
Ich wusste ziemlich genau, wo es steht. Ich habe das Forum ziemlich gut im Kopf. 
> @Hanno: Vielen Dank für deine Erklärung, ich habe fast
> alles verstanden.
>
> > Damit wissen wir schon alles,
> > was wir benötigen: der Betrag von [mm]\frac{1+ix}{1-ix}[/mm] ist [mm]1[/mm]
> > und der Winkel mit der Realachse ist [mm]2\varphi[/mm]. Es folgt:
> > [mm]\frac{1+ix}{1-ix} = e^{i2\varphi}[/mm]. Den Winkel [mm]\varphi[/mm]
> > können wir noch schnell bestimmen: er ist schlicht der
> > Arkustangens der Quotienten aus Imaginär- und Realteil,
> > sprich [mm]\frac{x}{1}=x[/mm].
>
> Das einzige, was ich noch nicht verstanden habe, ist, wie
> man auf den Arkustangens kommt. Du hast das hier in einen
> kurzen Satz geschrieben, kann man das wirklich so kurz
> verstehen? Oder muss ich da auf Pauls Erklärung
> zurückgreifen? Könntest du mir deinen letzten Satz etwas
> genauer erläutern?
Es geht ja um den Tangens des Winkels [mm] $\varphi$, [/mm] der von der $x$-Achse und der Strecke von Nullpunkt zum Punkt $1+ix$ eingeschlossen wird. Nun gilt aber:
[mm] $\tan(\varphi) [/mm] = [mm] \frac{\mbox{Gegenkathete}}{\mbox{Ankathete}} [/mm] = [mm] \frac{\mbox{Imaginärteil von 1+ix}}{\mbox{Realteil von 1+ix}} [/mm] = [mm] \frac{x}{1}=x$,
[/mm]
also:
[mm] $\varphi=\arctan(x)$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 Mi 24.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
> > @Stefan: Hatte ich es doch richtig im Kopf, dass ich das
> > schon mal hatte. Aber ich hätte nicht gewusst, wo ich das
> > hier suchen soll... Wie lange hast du gebraucht, um es zu
> > finden?
>
> Ich wusste ziemlich genau, wo es steht. Ich habe das
> Forum ziemlich gut im Kopf.
Gut, dann war es wohl nicht schlimm, dass ich die Frage gestellt habe anstatt selber zu suchen...
> > @Hanno: Vielen Dank für deine Erklärung, ich habe fast
> > alles verstanden.
> >
> > > Damit wissen wir schon alles,
> > > was wir benötigen: der Betrag von [mm]\frac{1+ix}{1-ix}[/mm] ist [mm]1[/mm]
> > > und der Winkel mit der Realachse ist [mm]2\varphi[/mm]. Es folgt:
> > > [mm]\frac{1+ix}{1-ix} = e^{i2\varphi}[/mm]. Den Winkel [mm]\varphi[/mm]
> > > können wir noch schnell bestimmen: er ist schlicht der
> > > Arkustangens der Quotienten aus Imaginär- und Realteil,
> > > sprich [mm]\frac{x}{1}=x[/mm].
> >
> > Das einzige, was ich noch nicht verstanden habe, ist, wie
> > man auf den Arkustangens kommt. Du hast das hier in einen
> > kurzen Satz geschrieben, kann man das wirklich so kurz
> > verstehen? Oder muss ich da auf Pauls Erklärung
> > zurückgreifen? Könntest du mir deinen letzten Satz etwas
> > genauer erläutern?
>
> Es geht ja um den Tangens des Winkels [mm]\varphi[/mm], der von der
> [mm]x[/mm]-Achse und der Strecke von Nullpunkt zum Punkt [mm]1+ix[/mm]
> eingeschlossen wird. Nun gilt aber:
>
> [mm]\tan(\varphi) = \frac{\mbox{Gegenkathete}}{\mbox{Ankathete}} = \frac{\mbox{Imaginärteil von 1+ix}}{\mbox{Realteil von 1+ix}} = \frac{x}{1}=x[/mm],
>
> also:
>
> [mm]\varphi=\arctan(x)[/mm].
Danke für die Erklärung, das habe ich jetzt verstanden. Allerdings frage ich mich, warum es denn überhaupt um den Tangens geht. Verstehst du meine Frage?
Viele Grüße
Christiane
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:25 Mi 24.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> Danke für die Erklärung, das habe ich jetzt verstanden.
> Allerdings frage ich mich, warum es denn überhaupt um den
> Tangens geht. Verstehst du meine Frage?
Nicht so ganz.
Die Frage ist ja, wie man die beiden Darstellungen
$x+iy = r [mm] e^{i\varphi}$
[/mm]
zueinander am besten in Beziehung setzt (Darstellung in der Gaußschen Zahlenebene mit Standardkoordinaten und Polarkoordinaten); und das geht am besten über den Tangens:
$r= [mm] \sqrt{x^2+y^2}$
[/mm]
und
$ [mm] \varphi= \left\{ \begin{array}{cccl} \arctan\left(\frac{y}{x} \right) & , & \mbox{wenn} & x>0,\\[5pt] \arctan \left( \frac{y}{x} \right) + \pi & , & \mbox{wenn} & x<0 \quad \mbox{und} \quad y \ge 0,\\[5pt] \arctan \left( \frac{y}{x} \right) - \pi & , & \mbox{wenn} & x<0 \quad \mbox{und} \quad y<0,\\[5pt] \frac{\pi}{2} & , & \mbox{wenn} & x=0 \quad \mbox{und} \quad y>0,\\[5pt] - \frac{\pi}{2} & , & \mbox{wenn} & x=0 \quad \mbox{und} \quad y<0,\\[5pt] 0 & , & \mbox{wenn} & x=0 \quad \mbox{und} \quad y=0. \end{array} \right. [/mm] $
Liebe Grüße
Stefan
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