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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 Do 16.02.2006 | | Autor: | Zwille |
Hallo,
man hat eine Funktion [mm] x^{2}+4x+5 [/mm] gegeben. Will man die Nullstellen errechnen, so stellt man schnell fest, dass es keine gibt, scheinbar. Die Lösung ist aber tatsächlich:
[mm] x_{1} [/mm] = -2 - i oder [mm] x_{2} [/mm] = -2 + i
Das bedeutet doch, dass in den Punkten [mm] N_{1} [/mm] (-2 - i/0) und [mm] N_{2} [/mm] (-2 + i/0) jeweils eine Nullstelle zu verzeichnen ist, oder ?!
Mit der Definition [mm] i^{2} [/mm] = -1 würde dann auch, wenn man die x-Werte in die Ausgangsfunktion einsetzt 0 herauskommen, aber nur für den Fall, dass [mm] i^{2} [/mm] = -1 ist. Damit wäre y = 0 und damit eine Nullstelle.
Wenn man aber den Graphen zeichnet, dann gibt es keine Nullstelle mit y = 0. Liegt die "Nullstelle" in einer Ebene in eine Quadranten des kart. Koordinatensystems ?? Wie darf man die Lösung verstehen ??
Gibt es Funktionen 2. oder 3. Grades, bei denen es bei der Nullstellenberechnung sowohl komplexe Zahlen, als auch reelle Zahlen als Lösungen gibt??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 Do 16.02.2006 | | Autor: | djmatey |
> Hallo,
Hallo!
> man hat eine Funktion [mm]x^{2}+4x+5[/mm] gegeben. Will man die
> Nullstellen errechnen, so stellt man schnell fest, dass es
> keine gibt, scheinbar.
Es gibt keine reellen Nullstellen, da die Parabel nach oben geöffnet ist und der Scheitelpunkt oberhalb der x-Achse liegt.
> Die Lösung ist aber tatsächlich:
> [mm]x_{1}[/mm] = -2 - i oder [mm]x_{2}[/mm] = -2 + i
>
> Das bedeutet doch, dass in den Punkten [mm]N_{1}[/mm] (-2 - i/0) und
> [mm]N_{2}[/mm] (-2 + i/0) jeweils eine Nullstelle zu verzeichnen
> ist, oder ?!
>
Richtig. In den komplexen Zahlen zefällt jedes Polynom in Linearfaktoren, da sie algebraisch abgeschlossen sind. Also hat jedes nicht-konstante Polynom komplexe Nullstellen.
> Mit der Definition [mm]i^{2}[/mm] = -1 würde dann auch, wenn man die
> x-Werte in die Ausgangsfunktion einsetzt 0 herauskommen,
Das ist ja die Definition einer Nullstelle, richtig
> aber nur für den Fall, dass [mm]i^{2}[/mm] = -1 ist.
Das ist aber immer so, denn so ist i definiert.
> Damit wäre y
> = 0 und damit eine Nullstelle.
Vorsicht: y=0 ist keine Nullstelle. Setzt Du [mm] x_{1} [/mm] oder [mm] x_{2} [/mm] in die Funktion ein, ergibt sich y=0. Das heißt, dass [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] Nullstellen sind, da dort der Funktionswert 0 wird.
> Wenn man aber den Graphen zeichnet, dann gibt es keine
> Nullstelle mit y = 0.
Verstehe ich nicht ganz.... Wie gesagt, 0 ist keine Nullstelle, sondern nur [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2}. [/mm] Oder meinst Du, dass der Graph die x-Achse nicht schneidet? Das ist klar, denn sonst gäbe es ja reelle Nullstellen, aber [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] sind echt komplex.
> Liegt die "Nullstelle" in einer Ebene
> in eine Quadranten des kart. Koordinatensystems ?? Wie darf
> man die Lösung verstehen ??
Es ist nicht möglich, anhand einer üblichen Zeichnung des Graphen komplexe Nullstellen abzulesen. Der Grund hierin ist folgender:
In einer üblichen Skizze setzt Du ja Werte für x ein und berechnest y und zeichnest so die Funktion, z.B. mit einer Wertetabelle. Damit hast Du die Funktion aber implizit auf dem Definitionsbereich der reellen Zahlen betrachtet. Erweiterst Du das Ganze und betrachtest auch komplexe Zahlen, z.B. [mm] x_{1} [/mm] oder [mm] x_{2}, [/mm] die Du in die Funktion einsetzt, gehst Du von einem Def.-Bereich aus, der die komplexen Zahlen bzw. eine Teilmenge davon umfasst. D.h. die Funktion ist nicht mehr im üblichen Sinn zu zeichnen, sondern Du müsstest als Def.-Bereich die komplette Ebene annehmen (bzw. eine Teilmenge). Die Funktionswerte sind dann nach oben einzutragen, d.h. auf der z-Achse, so dass anschaulich eine Art "Gebirge" bei einer stetigen Funktion entsteht. Dass [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] Nullstellen sind, bedeutet nun, dass das Gebirge bei [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] gerade ein Tal mit Werten auf der Ebene besitzt. Anschaulich wärst Du also bei [mm] x_{1} [/mm] oder [mm] x_{2} [/mm] auf Normal Null 
>
> Gibt es Funktionen 2. oder 3. Grades, bei denen es bei der
> Nullstellenberechnung sowohl komplexe Zahlen, als auch
> reelle Zahlen als Lösungen gibt??
Ja gibt es, z.B. hat die Funktion
f(x) = [mm] x^{3}-x^{2}+x-1
[/mm]
die Nullstellen i, -i, 1.
Nach dem Fundamentalsatz der Algebra besitzt jedes Polynom dritten Grades eine relle Nullstelle.
Als Beispiel für eine Funktion 2. Grades mit einer echt komplexen und einer reellen Nullstelle kannst Du
f(x) = [mm] x^{2} [/mm] + ix
nehmen. Sie hat die Nullstellen 0 und -i.
Liebe Grüße,
Matthias.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Do 16.02.2006 | | Autor: | Zwille |
Vielen Dank schonmal, hat mir schon sehr weitergeholfen.
Die letzte Frage habe ich leider etwas unglücklich formuliert :)
Wenn ich das richtig verstanden habe, gibt es bei einer Funktion 2. Grades nie mehr als 2 Lösungen, zwar kann es sich dabei sowohl um ein komplexes Ergebnis, als auch ein reelles Ergebnis handeln. Es kann aber nie sein, dass bei einer Funktion 2. Grades z.B. [mm] x_{1} [/mm] =i ; [mm] x_{2} [/mm] =-i und [mm] x_{3} [/mm] =1 herauskommt ?!
Grüße
Zwille
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:47 Do 16.02.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
> Wenn ich das richtig verstanden habe, gibt es bei einer
> Funktion 2. Grades nie mehr als 2 Lösungen,
Genau so ist es.
> zwar kann es
> sich dabei sowohl um ein komplexes Ergebnis, als auch ein
> reelles Ergebnis handeln.
Man kann sogar noch weiter gehen: wenn die Koeffizienten des Polynoms alle reell sind, dann gibt es bei Grad 2 nur die folgenden Möglichkeiten:
- Eine reelle (dann aber doppelte) Nullstelle
- zwei reelle Nullstellen
- zwei echt komplexe Nullstellen, die zueinander komplex konjugiert sind.
Aus diesem Grund musste Matthias für sein letztes Beispiel auch ein i in den Funktionsterm einbauen.
> Es kann aber nie sein, dass bei
> einer Funktion 2. Grades z.B. [mm]x_{1}[/mm] =i ; [mm]x_{2}[/mm] =-i und
> [mm]x_{3}[/mm] =1 herauskommt ?!
>
Das wären dann ja drei, das gibt es ja wie oben schon gesehen nicht.
> Grüße
> Zwille
Noch ein kleiner Hinweis, mit dem Du selbst noch ein bisschen experimentieren kannst:
Will man eine Polynomfunktion mit Nullstellen bei irgendwelchen Werten [mm] a_1, a_2, .....,a_n [/mm] dann setzt man einfach
[mm]f(x) = (x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n)[/mm]
und multipliziert das ganze aus (so konstruieren Lehrer übrigens auch gerne die Aufgaben für ihre Klausuren ;) ). Damit kannst Du Dir jetzt die wildesten Nullstellenkombinationen vorgeben und dann einfach mal probieren, was dazu für ein Polynom rauskommt. Viel Spaß!
Gruß
piet
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