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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:26 Sa 11.11.2006 | | Autor: | nix19 |
| Aufgabe | Im Körper C der komplexen Zahlen seien [mm] z_{1} [/mm] = (2, 1), [mm] z_{2}= [/mm] (3,−2), [mm] z_{3} [/mm] = [mm] (-\bruch{1}{2},\wurzel{3}).
[/mm]
a) [mm] z_{1}^{-1}; z_{2}^{-1} [/mm] ; [mm] z_{3}^{1} [/mm] ; [mm] z_{1}^{2} [/mm] − (2, [mm] 0)*z_{3} [/mm] ; [mm] \bruch{z_{1}}{z_{2}} [/mm] ; [mm] \bruch{z_{3}}{z_{2}+z_{1}}
[/mm]
b) Berechnen Sie x [mm] \in [/mm] C so, dass gilt [mm] z_{2}^{2} [/mm] − (0, [mm] 3)*z_{3} [/mm] + x = [mm] z_{1}
[/mm]
c) Lösen Sie in C die Gleichung [mm] z_{2} [/mm] + (1, 0) = (0, 0). |
Wie muss man so was rechnen? Ich weiß nicht wie ich anfangen soll, wenn mir vielleicht jemand von der a) was vorrechnen könnte wäre das total lieb von euch.
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Hallo nix19!
> Im Körper C der komplexen Zahlen seien [mm]z_{1}[/mm] = (2, 1),
> [mm]z_{2}=[/mm] (3,−2), [mm]z_{3}[/mm] = [mm](-\bruch{1}{2},\wurzel{3}).[/mm]
>
> a) [mm]z_{1}^{-1}; z_{2}^{-1}[/mm] ; [mm]z_{3}^{1}[/mm] ; [mm]z_{1}^{2}[/mm] −
> (2, [mm]0)*z_{3}[/mm] ; [mm]\bruch{z_{1}}{z_{2}}[/mm] ;
> [mm]\bruch{z_{3}}{z_{2}+z_{1}}[/mm]
>
> b) Berechnen Sie x [mm]\in[/mm] C so, dass gilt [mm]z_{2}^{2}[/mm] −
> (0, [mm]3)*z_{3}[/mm] + x = [mm]z_{1}[/mm]
>
> c) Lösen Sie in C die Gleichung [mm]z_{2}[/mm] + (1, 0) = (0, 0).
> Wie muss man so was rechnen? Ich weiß nicht wie ich
> anfangen soll, wenn mir vielleicht jemand von der a) was
> vorrechnen könnte wäre das total lieb von euch.
Ich bin mir da selbst nie so sicher, aber ich glaube, du könntest es so machen:
z=2+i
[mm] z^{-1}=\frac{1}{z}=\frac{1}{2+i}=\frac{2-i}{(2+i)(2-i)}=\frac{2-i}{4-i^2}=\frac{2-i}{5}=\frac{2}{5}-\frac{1}{5}i
[/mm]
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:31 Mo 13.11.2006 | | Autor: | nix19 |
hat sonst noch einer eine idee, wie man solche aufgaben lösen könnte? oder stimmt so was
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Hallo,
natürlich stimmt das. Für komplexe $z$ wir auch manchmal Folgendes formuliert:
[mm] $z^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{\overline{z}}{|z|^2}$
[/mm]
Genau das hat Bastiane ja durch die Erweiterung des Bruchs erreicht, denn:
[mm] $|z|^2 [/mm] = [mm] z\cdot\overline{z}$
[/mm]
Gruß
Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:22 Mo 13.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo nix
Die richtige Lösung hängt davon ab, wie ihr mit den kompexen Zahlen bisher umgegangen seid.
Wenn ihr sie nur als Paare (a,b) behandelt habt, darfst du nur die dazu gehörigen regeln verwenden z.Bsp. (a,b)=(c,d)<=>a0c und b=d
(a,b)*(c,d)=(ab-bd,bc+ad) und das Einselement (1,0)
dann ist z.Bsp [mm] z^{-1} [/mm] definiert durch [mm] z^{-1}*z=(1,0)
[/mm]
setze [mm] z^{-1}=(x,y) [/mm] dann hast du für z1: [mm] z^{-1}*z [/mm] =(1,0)
(x,y)*(2,1)=(1,0) => (x*2-y*1,x*1+y*2)
daraus das Gleichungssystem 2x-y=1; x+2y=0 und kannst x,y leicht ausrechnen. Wenn dus mit (a,b) statt (2,1) machst hast dus gleich allgemein.
Natürlich kannst du auch (x,y)*(2,1)=(1,0) auf beiden Seiten mit (2,-1) multiplizieren und dann die Regel r*(a,b)=(ra,rb) verwenden mit r=(r,0)
entsprechend die anderen Aufgaben: eure Regeln einsetzen und dann ausrechnen und die Regel (a,b)=(c,d)<=>a0c und b=d benutzen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 Mo 13.11.2006 | | Autor: | nix19 |
hallo
wir haben bis jetzt noch nicht mit komplexen zahlen gemacht und bekommen dann so eine übung. ich versteh das irgendwie nicht. aber danke für deine antwort, ich hoffe die hilft mir.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 Mo 13.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo nix
Ohne definition von [mm] \IC [/mm] mit Definition von *, + kkannst du so ne Aufgabe nicht lösen. Bist du sicher, dass wirklich nichts davon in der Vorlesung kam?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:03 Di 14.11.2006 | | Autor: | nix19 |
Ja ich bin mir sicher, der Prof hat so etwas in der Vorlesung nie erwähnt.
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