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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:32 Mo 06.12.2004 | | Autor: | tapsi |
a) Welche Häufungswerte hat die komplexe Zahlenfolge [mm] (a_{n}) [/mm] mit
(i) [mm] a_{n}=i^{n}+2^{-n}
[/mm]
(ii) [mm] a_{n}=1+2*(-i)^{n}+1+3*i^{\bruch{n*(n-1)}{2}}
[/mm]
b) Die Folge [mm] (a_{n}) [/mm] in [mm] \IR^{3} [/mm] sei durch
[mm] a_{n}=(\bruch{(-1)^{n}}{n},\bruch{1+n*(-1)^{n}}{2n+(-1)^{n}},Im(i^{n})
[/mm]
definiert. Geben Sie alle Häufungswerte von [mm] (a_{n}) [/mm] an.
Könnt ihr bitte so lieb sein und mir bei dieser aufgabe helfen, ich habe überhaupt keinen plan wie ich an die aufgabe ran gehen soll.
vielen dank schon einmal im vorraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:29 Di 07.12.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo tapsi!
> a) Welche Häufungswerte hat die komplexe Zahlenfolge
> [mm](a_{n})[/mm] mit
> (i) [mm]a_{n}=i^{n}+2^{-n}
[/mm]
> (ii) [mm]a_{n}=1+2*(-i)^{n}+1+3*i^{\bruch{n*(n-1)}{2}}
[/mm]
>
> b) Die Folge [mm](a_{n})[/mm] in [mm]\IR^{3}[/mm] sei durch
>
>
> [mm]a_{n}=(\bruch{(-1)^{n}}{n},\bruch{1+n*(-1)^{n}}{2n+(-1)^{n}},Im(i^{n})
[/mm]
>
> definiert. Geben Sie alle Häufungswerte von [mm](a_{n})[/mm] an.
>
>
>
> Könnt ihr bitte so lieb sein und mir bei dieser aufgabe
> helfen, ich habe überhaupt keinen plan wie ich an die
> aufgabe ran gehen soll.
Das kann ich auch schwer glauben. Das interessante ist hier doch nur, dass die Folge über den komplexen Zahlen gebildet wurde -- ich denke, Folgen über [mm] $\IR$ [/mm] habt ihr sicher schon behandelt.
Weißt du denn, was ein Häufungswert ist?
Ein Tipp, sich dem Ergebnis zu nähern, ist, die ersten Folgenglieder mal auszurechnen (sagen wir, die ersten acht Folgenglieder).
Dann erkennst du vielleicht schon die Regelmäßigkeit und kannst vielleicht sogar schon die Teilfolgen angeben, die gegen den Häufungspunkt konvergieren.
Bitte melde dich mit einem Ansatz oder konkreten Fragen wieder.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:06 Mi 08.12.2004 | | Autor: | tapsi |
hallo marc!
ich würde bestimmt keine frage hier rein stellen, wenn ich die lösung weiß.
ich habe diese frage reingestellt, weil ich keinen anfang in ihr sehe.
darum wäre es nett wenn ihr mir helfen könntet.
die kleine tapsi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo tapsi!
Dann will dir mal ein paar Ansätze geben, denn um die geht es dir ja. Dann wirst du ja anschließend sicherlich in der Lage sein daraus uns mal ein paar eigene Lösungsversuche zu präsentieren.
> a) Welche Häufungswerte hat die komplexe Zahlenfolge
> [mm](a_{n})[/mm] mit
> (i) [mm]a_{n}=i^{n}+2^{-n}
[/mm]
Hier würde ich mal die verschiedenen Fälle für $n$ modulo $4$ betrachten. Den zweiten Term kannst du vergessen, der konvergiert ja gegen $0$, der erste hat vier Häufungspunkte. Die Aufgabe ist wirklich einfach und sollte für einen durchschnittlichen Mathestudenten im ersten Semester in weniger als einer Minute zu lösen sein.
> (ii) [mm]a_{n}=1+2*(-i)^{n}+1+3*i^{\bruch{n*(n-1)}{2}}
[/mm]
Diese Aufgabe ist etwas schwieriger. Hier würde ich mal die verschiedenen Fälle modulo $8$ durchprobieren, also für $n=8k$, $n=8k+1$, [mm] $\ldots$, [/mm] $n=8k+7$. Was kommt raus, wenn ich diese $n$'s nacheinander einsetze?
> b) Die Folge [mm](a_{n})[/mm] in [mm]\IR^{3}[/mm] sei durch
>
>
> [mm]a_{n}=(\bruch{(-1)^{n}}{n},\bruch{1+n*(-1)^{n}}{2n+(-1)^{n}},Im(i^{n})
[/mm]
>
> definiert. Geben Sie alle Häufungswerte von [mm](a_{n})[/mm] an.
Die erste Komponente konvergiert gegen $0$, geschenkt, die zweite (teile alles durch $n$) enthält die Häufungspunkte von [mm] $\frac{1}{2} \cdot (-1)^n$ [/mm] (der Rest konvergiert) und die dritte Komponente enthält die Häufungspunkte von [mm] $Im(i^n)$, [/mm] also $0$, $1$ und $-1$. Jetzt muss man noch genauer untersuchen, welche Teilfolgen gegen was genau komponentenweise konvergieren, um die gemeinsamen Häufungspunkte herauszubekommen.
Versuche jetzt mal bitte eigene Lösungsansätze zu formulieren, ich habe die Aufgabe ja jetzt praktisch schon gelöst.
Viele Grüße
Stefan
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