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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:48 Do 27.01.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form z=x+iy und z=r*(cos [mm] \phi+i*sin \phi) [/mm] dar:
a) [mm] z=\bruch{(1+i)^{3}}{(1-i)^{2}}
[/mm]
b) [mm] i+i^{2}+...+i^{19} [/mm] |
Hallo,
ich habe mal die komplexen Zahlen in beiden Formen dargestellt, aber irgendwie ergeben sich Widersrpüche und ich finde den Fehler nicht.
a) Da hab ich die Klammern aufgelöst und den Bruch berechnet, es ist z=1+i. Und für die zweite Darstellung hatten wir uns aufgeschrieben, dass [mm] r=\wurzel{x^{2}+y^{2}}, [/mm] also hier r=1 und [mm] \phi=arctan(\bruch{y}{x}), [/mm] also wäre das hier [mm] \phi=\bruch{\pi}{4}.
[/mm]
Wir hatten uns aber auch aufgeschrieben, dass [mm] cos(\phi)=\bruch{x}{|z|}, [/mm] also wäre das hier [mm] cos(\phi)=1, [/mm] aber es ist [mm] cos(\bruch{\pi}{4}) \not=1. [/mm] Irgendwas stimmt da doch nicht. Was mache ich falsch?
b) Also wenn ich richtig gerechnet habe (habe 2 mal gerechnet) ist hier z=0+i*0, d.h. r=0 und [mm] cos(\phi)=0 [/mm] und [mm] sin(\phi)=0. [/mm] Das kann aber nicht sein, da es keine Stelle [mm] \phi [/mm] gibt, an der sin und cos beiden gleichzeitig Null sind. Wie kann man sich das erklären?
Vielen Dank
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:08 Fr 28.01.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form
> > z=x+iy und z=r*(cos [mm]\phi+i*sin \phi)[/mm] dar:
> >
> > a) [mm]z=\bruch{(1+i)^{3}}{(1-i)^{2}}[/mm]
> >
> > b) [mm]i+i^{2}+...+i^{19}[/mm]
> > a) Da hab ich die Klammern aufgelöst und den Bruch
> > berechnet, es ist z=1+i. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> das stimmt nicht !
Häää???? Das verstehe ich nicht.Ich hab das Ding jetzt so oft nachgerechnet, da kommt immer z=1+i raus. Ich rechne mal vor:
[mm] (1+i)^{3}=(1+i)*(1+i)*(1+i)=((1+i)*(1+i))*(1+i)=(1+2i-1)*(1+i)=(2i)*(1+i)=2i+2i^{2}=2i-2=-2+2i.
[/mm]
[mm] (1-i)^{2}=(1-i)*(1-i)=1-2i+i^{2}=1-2i-1=2i, [/mm] d.h
[mm] z=\bruch{-2+2i}{2i}=\bruch{-2+2i}{2i}*\bruch{i}{i}=\bruch{-2-2i}{-2}=\bruch{-2i}{-2}+\bruch{-2}{-2}=i+1.
[/mm]
Ich könnte ausrasten,wo ist denn hier der Fehler?
> > b) Also wenn ich richtig gerechnet habe (habe 2 mal
> > gerechnet) ist hier z=0+i*0
>
> leider stimmt dies auch nicht ...
> wie bist du denn bei der Berechnung vorgegangen ?
>
Nun, ich habe 19 Potenzen,davon sind 9 eine gerade Zahl und 10 eine ungerade.
Gerade: es ist [mm] i^{2}=-1 [/mm] und die folgenden geraden Potenzen sind: 6,8,10,12,14,16,18. Bei dieser allen rechne ich immer [mm] (i^{2}=-1)^{2},(i^{2}=-1)^{3},(i^{2}=-1)^{4},....,(i^{2}=-1)^{10}...und [/mm] merke grad meinen Fehler, ich hab ausversehen bis [mm] (i^{2}=-1)^{10} [/mm] gerechnet,obwohl es nur bis [mm] (i^{2}=-1)^{9} [/mm] geht. Ok, dann bekomm ich jetzt z=-1 raus. So stimmts nun oder?
Dann ist z=cos [mm] \pi+i*sin \pi.
[/mm]
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:16 Fr 28.01.2011 | | Autor: | fred97 |
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> > > Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form
> > > z=x+iy und z=r*(cos [mm]\phi+i*sin \phi)[/mm] dar:
> > >
> > > a) [mm]z=\bruch{(1+i)^{3}}{(1-i)^{2}}[/mm]
> > >
> > > b) [mm]i+i^{2}+...+i^{19}[/mm]
>
> > > a) Da hab ich die Klammern aufgelöst und den Bruch
> > > berechnet, es ist z=1+i.
> >
> > das stimmt nicht !
>
> Häää???? Das verstehe ich nicht.Ich hab das Ding jetzt
> so oft nachgerechnet, da kommt immer z=1+i raus. Ich rechne
> mal vor:
>
> [mm](1+i)^{3}=(1+i)*(1+i)*(1+i)=((1+i)*(1+i))*(1+i)=(1+2i-1)*(1+i)=(2i)*(1+i)=2i+2i^{2}=2i-2=-2+2i.[/mm]
> [mm](1-i)^{2}=(1-i)*(1-i)=1-2i+i^{2}=1-2i-1=2i,[/mm]
Hier ist der Fehler: 1-2i-1 [mm] \ne [/mm] 2i, sondern 1-2i-1=-2i
FRED
> d.h
>
> [mm]z=\bruch{-2+2i}{2i}=\bruch{-2+2i}{2i}*\bruch{i}{i}=\bruch{-2-2i}{-2}=\bruch{-2i}{-2}+\bruch{-2}{-2}=i+1.[/mm]
>
> Ich könnte ausrasten,wo ist denn hier der Fehler?
>
>
> > > b) Also wenn ich richtig gerechnet habe (habe 2 mal
> > > gerechnet) ist hier z=0+i*0
> >
> > leider stimmt dies auch nicht ...
> > wie bist du denn bei der Berechnung vorgegangen ?
> >
>
> Nun, ich habe 19 Potenzen,davon sind 9 eine gerade Zahl und
> 10 eine ungerade.
> Gerade: es ist [mm]i^{2}=-1[/mm] und die folgenden geraden Potenzen
> sind: 6,8,10,12,14,16,18. Bei dieser allen rechne ich immer
> [mm](i^{2}=-1)^{2},(i^{2}=-1)^{3},(i^{2}=-1)^{4},....,(i^{2}=-1)^{10}...und[/mm]
> merke grad meinen Fehler, ich hab ausversehen bis
> [mm](i^{2}=-1)^{10}[/mm] gerechnet,obwohl es nur bis [mm](i^{2}=-1)^{9}[/mm]
> geht. Ok, dann bekomm ich jetzt z=-1 raus. So stimmts nun
> oder?
> Dann ist z=cos [mm]\pi+i*sin \pi.[/mm]
>
> lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:42 Fr 28.01.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
versuchs mal mit der geometrischen Reihe.
[mm] \summe_{i=0}^{n}q^n=\br{1-q^{n+1}}{1-q} [/mm] und setzte q=i und berechne [mm] q^{20}=i^{20}=(i^4)^5=1
[/mm]
Und benutze [mm] \summe_{i=1}^{n}q^n=\summe_{i=0}^{n}q^n-1
[/mm]
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