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| Aufgabe | Bestimme z1 und z2:
es gilt: z1+z2=4+i und z1*z2=15-5i |
Guten Wochenstart zusammen,
so jetzt habe ich das mal alles sortiert, also Real- und Imaginärteile getrennt. Dachte ja ich löse das mal durch sukzessives ersetzten der Variablen, bis eine Gl. mit einer Variablen (z.B. [mm] z_{1re}) [/mm] übrigbleibt...jedoch wir das ganze arg unhandlich, mit Wurzeln in der Gleichung. :( Gibt es dabei eine andere Herangehensweise?
Freue mich über jeden Tipp. :)
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Hallo Big_Head78,
> Bestimme z1 und z2:
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> es gilt: z1+z2=4+i und z1*z2=15-5i
> Guten Wochenstart zusammen,
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> so jetzt habe ich das mal alles sortiert, also Real- und
> Imaginärteile getrennt. Dachte ja ich löse das mal durch
> sukzessives ersetzten der Variablen, bis eine Gl. mit einer
> Variablen (z.B. [mm]z_{1re})[/mm] übrigbleibt...jedoch wir das
> ganze arg unhandlich, mit Wurzeln in der Gleichung. :( Gibt
> es dabei eine andere Herangehensweise?
>
Poste dazu Deine bisherigen Rechenschritte.
> Freue mich über jeden Tipp. :)
Gruss
MathePower
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also:
[mm] z1+z2=(z_{1re} +z_{2re})+(z_{1im} +z_{2im})i=4+1i
[/mm]
[mm] z1*z2=(z_{1re}*z_{2re} [/mm] - [mm] z_{1im}*z_{2im})+(z_{1re}*z_{2im} [/mm] + [mm] z_{1im}*z_{2re})i=15-5i
[/mm]
also:
[mm] z_{1re} +z_{2re}=4 \gdw z_{2re}=4-+z_{1re}
[/mm]
[mm] z_{1im} +z_{2im}=1 \gdw z_{2im}=1-z_{1im}
[/mm]
[mm] z_{1re}*z_{2re} [/mm] - [mm] z_{1im}*z_{2im}=15 [/mm] und jetzt so weit einsetzten wie möglich
[mm] =z_{1re}(4- z_{1re})- z_{1im}(1-z_{1im})=4z_{1re}-z_{1re}^2 -z_{1im}+z_{1im}^2 [/mm] =15
jetzt quadratisch ergänzen:
[mm] -(z_{1re}-2)^2 [/mm] +4+ [mm] (z_{1im} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2})^2 -\bruch{1}{4} [/mm] =15
und nach [mm] z_{1im} [/mm] umstellen:
[mm] z_{1im}= \bruch{1}{2} \pm \wurzel{(z_{1re}-2)^2 + \bruch{45}{4}}
[/mm]
und dann wieder einsetzen:
[mm] z_{1re}(1-(\bruch{1}{2} \pm \wurzel{(z_{1re}-2)^2 + \bruch{45}{4}}))+(\bruch{1}{2} \pm \wurzel{(z_{1re}-2)^2 + \bruch{45}{4}})(4-z_{1re})=-5
[/mm]
und nun weiss ich nicht mehr weiter... :(
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:33 Mo 14.05.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du machst es dir vie zu kompliziert:
Es gilt:
[mm] z_1+z_2=4+i [/mm]
und
[mm] z_1\cdot z_2=15-5i [/mm]
Aus [mm] z_1\cdot z_2=15-5i [/mm] folgt:
[mm]z_{1}=\frac{15-5i}{z_{2}}=\frac{5(3-i)}{z_{2}} [/mm]
Das in [mm] z_1+z_2=4+i [/mm] eingesetzt, ergibt:
[mm] z_{2}+\frac{5(3-i)}{z_{2}}=4+i [/mm]
[mm] \Leftrightarrow z_{2}-(4+i)+\frac{5(3-i)}{z_{2}}=0 [/mm]
[mm] \Leftrightarrow z_{2}^{2}-(4-i)\cdot z_{2}+5(3-i)=0 [/mm]
Nun, mit der Lösungsformel:
[mm] z_{2_{1;2}}=\frac{4+i}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{(4+i)}{2}\right)^{2}-5(3-i)} [/mm]
Nun kannst du [mm] z_2 [/mm] ohne Probleme in die Form [mm] z_{2}=a+ib [/mm] bringen, indem du die Form [mm] z_{2_{1;2}}=\frac{4+i}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{(4+i)}{2}\right)^{2}-5(3-i)} [/mm] noch zusammenfasst.
Marius
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