komplexe Zahlen bestimmen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimme alle [mm] z\in \IC, [/mm] die die Gleichung zn=1 [mm] n\in{2,3,4,6} [/mm] erfüllen.
also [mm] z^2, z^3, z^4, z^6 [/mm] und für z gelten die komplexen Zahlen |
also [mm] z^2, z^3, z^4, z^6 [/mm] und für z gelten die komplexen Zahlen.
aber wie zeige ich das? ich kann ja für z nicht alle komplexen zahlen einsetzen!
Grüße
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:01 Sa 31.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathegirl!
Kennst Du schon die  Moivre-Formel?
Gruß
Loddar
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Nein, davon habe ich bisher noch nie etwas gehört.
Danke für den Tipp!
Aber wie soll ich die anwenden?? Jetzt scheint es mir ja noch schwieriger als vorher!!!
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Hallo Mathegirl,
> Nein, davon habe ich bisher noch nie etwas gehört.
> Danke für den Tipp!
> Aber wie soll ich die anwenden?? Jetzt scheint es mir ja
> noch schwieriger als vorher!!!
Für die Gleichung [mm]z^{n}=1[/mm] ist auf jeden Fall eine Lösung sofort ersichtlich.
Für gerade n ist darüber hinaus noch eine weitere Lösung ersichtlich.
Dann kannst Du eine Polynomdivision durch diese Lösungen durchführen.
Ist [mm]z_{0}[/mm] eine Lösung der Gleichung [mm]z^{n}-1=0[/mm],
so kannst Du den Grad der Gleichung um 1 erniederigen, in dem Du
[mm]\left(z^{n}-1\right):\left(z-z_{0}\right)[/mm]
berechnest.
Für n gerade kannst Du eine nochmalige Polynomdivision durchführen.
Gruss
MathePower
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Das verstehe ich nicht. Für mich ist erstmal offensichtlich, wenn n=2 ist und z=1, dann kommt man auch auf 1.
Ich weiß auch wie Polynomdivision funktioniert, aber ich verstehe das nicht mit den geraden Zahlen oder um eins erniedrigen.
Könnt ihr mir vielleicht den Anfang davon mal schreiben? oder es mir irgendwie anders verständlich machen?
Grüße
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:11 So 01.11.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathegirl!
Ein andere Variante wäre, für $Z_$ jeweils $(a+b*i_) 4inszustzen und die Klammern auszumultiplizieren:
[mm] $$z^2 [/mm] \ = \ [mm] (a+b*i)^2 [/mm] \ = \ [mm] a^2+2ab*i-b^2 [/mm] \ = \ [mm] \red{\left(a^2-b^2\right)}+\green{2ab}*i [/mm] \ = \ 1 \ = \ [mm] \red{1}+\green{0}*i$$
[/mm]
Koeffizientenvergleich liefert dann folgendes Gleichungssystem:
[mm] $$\red{\left(a^2-b^2\right)} [/mm] \ = \ [mm] \red{1}$$
[/mm]
[mm] $$\green{2ab} [/mm] \ = \ [mm] \green{0}$$
[/mm]
Der von Mathepower angeregte Weg wäre z.B. für $n \ = \ 3$ :
[mm] $$\left(z^3-1\right) [/mm] \ : \ (z-1) \ = \ [mm] z^2+z+1$$
[/mm]
Dabei kann man dann für den neuen Term die p/q-Formel anwenden.
Gruß
Loddar
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bei der polynomdivision erhalte ich dann:
[mm] \bruch{z}{2}\pm \wurzel{(\bruch{-z}{2})^2-1}
[/mm]
Da krige ich aber keine richtigen Lösungen raus!
Bisher habe ich ja nur z=1
LG Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> bei der polynomdivision erhalte ich dann:
>
> [mm]\bruch{z}{2}\pm \wurzel{(\bruch{-z}{2})^2-1}[/mm]
In der Lösungsformel stehen nur
die Koeffizienten vor den z-Potenzen:
[mm]z^{2}+\blue{1}*z+\green{1}=0[/mm]
Daher also [mm]\red{-}\bruch{\blue{1}}{2}\pm \wurzel{(\bruch{\blue{1}}{2})^2-\green{1}}[/mm]
>
> Da krige ich aber keine richtigen Lösungen raus!
> Bisher habe ich ja nur z=1
>
>
> LG Mathegirl
Gruss
MathePower
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Die Wurzel wird hierbei negativ, das darf aber nicht sein....also gibts keine weiteren lösungen????
Grüße
mathegirl
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> Die Wurzel wird hierbei negativ, das darf aber nicht
> sein....
Hallo,
Deine Überschrift lautet: komplexe Zahlen.
Und Du weißt doch, daß [mm] i^2=-1 [/mm] ist.
Was ist dann wohl [mm] \wurzel{-1}?
[/mm]
Gruß v. Angela
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na das müsste i sein, aber das soll ich hierbei ja gar nicht einsetzen.es geht ja darum, die p/q formel zu berechnen.ich wüsste zumindest nicht, wo ich das i bzw [mm] i^2 [/mm] einsetzen sollte..
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> na das müsste i sein, aber das soll ich hierbei ja gar
> nicht einsetzen.es geht ja darum, die p/q formel zu
> berechnen.ich wüsste zumindest nicht, wo ich das i bzw [mm]i^2[/mm]
> einsetzen sollte..
Hallo,
[mm] i^2 [/mm] könnte man ja für -1 sinnvoll einsetzen.
möglicherweise hast Du mich jetzt aber abgehängt:
die Frage, auf die ich antwortete war doch, was Du mit einer negativen Wurzel machen sollst.
Wo ist jetzt Dein konkretes Problem?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:17 Mi 04.11.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo Angela,
vielleicht kann man ja hier beide Fragen verknüpfen: Negativer Term unter der Wurzel und i²
[mm] z_{1,2}=-\bruch{1}{2}\pm\wurzel{\left(\bruch{1}{2}\right)^2-1}
[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{2}\pm\wurzel{\bruch{1}{4}-1}
[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{2}\pm\wurzel{-\bruch{3}{4}}
[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{2}\pm\wurzel{(-1)*\bruch{3}{4}}
[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{2}\pm\left[\underbrace{\wurzel{(-1)}}_{=i}*\wurzel{\bruch{3}{4}}\right]
[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{2}\pm\wurzel{\bruch{3}{4}}*i
[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{2}\pm\bruch{\wurzel{3}}{2}*i
[/mm]
Lg
Herby
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Danke herby!!
Aber ich dachte, -1 ist immer [mm] i^2 [/mm] oder wird das wegen der wurzel zu i?
danke nochmal!
Grüße
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:34 Mi 04.11.2009 | | Autor: | Herby |
Hi,
> Danke herby!!
> Aber ich dachte, -1 ist immer [mm]i^2[/mm] oder wird das wegen der
> wurzel zu i?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") ganz genau
Lg
Herby
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Danke herby!!
Aber ich dachte, -1 ist immer [mm] i^2 [/mm] oder wird das wegen der wurzel zu i?
Noch eine kleine anmerkung: vor der Wurzel muss aber [mm] \bruch{1}{2} [/mm] stehen, nicht mit Minus davor!!
danke nochmal!
Grüße
Mathegirl
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aber nach der Polynomdivision [mm] (z^3-1):(z-1) [/mm] erhält man doch [mm] z^2-z+1
[/mm]
und da würde das Minus doch positiv werden!!?? Oder habe ich mich da verrechnet?? ich denke nicht..
Grüße
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:23 Mi 04.11.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo Mathegirl,
> aber nach der Polynomdivision [mm](z^3-1):(z-1)[/mm] erhält man
> doch [mm]z^2-z+1[/mm]
>
> und da würde das Minus doch positiv werden!!?? Oder habe
> ich mich da verrechnet?? ich denke nicht..
leider doch [mm] (z^3-1):(z-1)=z^2\red{+}z+1
[/mm]
Das kannst du nachrechnen, indem du [mm] (z-1)*(z^2+z+1)=.... [/mm] ausmultiplizierst.
Liebe Grüße
Herby
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| Aufgabe | | Bestimme alle [mm] z\in \IZ, [/mm] die die Gleichung [mm] z^n=1, n\in [/mm] {2,3,4,6} erfüllen |
hmm stimmt. sorry...Weiß auch nicht, was ich da wieder gerechnet habe :)
Kann mir vielleicht jemand sagen, ob die Lösung der Aufgabe so stimmt bzw korrekt ist? Oder fehlt dort ein Lösungsschritt?
- [mm] \bruch{1}{2}\pm \bruch{\wurzel 3}{2} [/mm] *i
reicht es das zu zeigen?
Grüße
Mathegirl
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> Bestimme alle [mm]z\in \IZ,[/mm] die die Gleichung [mm]z^n=1, n\in[/mm]
> {2,3,4,6} erfüllen
> - [mm]\bruch{1}{2}\pm \bruch{\wurzel 3}{2}[/mm] *i
>
> reicht es das zu zeigen?
Hallo,
dies sind zwei der drei komplexen Zahlen z, für welche [mm] z^3=1 [/mm] gilt.
Gruß v. Angela
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aber wie könnte ich dann weiter vorgehen um alle z zu bestimmen??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:08 Do 05.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Was ist [mm] $1^3$ [/mm] ??
FRED
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[mm] 1^3 [/mm] ist 1!! :)
also muss ich z=1 noch hinzufügen und dann ist die Lösung vollständig? Aber das lässt sich doch sicher nicht so simple formulieren oder??
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:16 Do 05.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> [mm]1^3[/mm] ist 1!! :)
>
> also muss ich z=1 noch hinzufügen und dann ist die Lösung
> vollständig? Aber das lässt sich doch sicher nicht so
> simple formulieren oder??
Doch, die Gl. [mm] z^3 [/mm] = 1 hat genau 3 Lösungen
FRED
>
> Mathegirl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:11 Do 05.11.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo Mathegirl
> Bestimme alle [mm]z\in \IZ,[/mm] die die Gleichung [mm]z^n=1, n\in[/mm]
da sollte sicher [mm] z\in\IC [/mm] stehen, oder 
> {2,3,4,6} erfüllen
> hmm stimmt. sorry...Weiß auch nicht, was ich da wieder
> gerechnet habe :)
>
> Kann mir vielleicht jemand sagen, ob die Lösung der
> Aufgabe so stimmt bzw korrekt ist? Oder fehlt dort ein
> Lösungsschritt?
>
>
> [mm] z_{1,2}=-\bruch{1}{2}\pm \bruch{\wurzel 3}{2}*i
[/mm]
[mm] z_{3}=1
[/mm]
>
> reicht es das zu zeigen?
Du hast aber erst deine Aufgabe für n=1, n=2 und n=3 erledigt - die anderen n fehlen aber noch und dort wirst du um die Moivre-Formel nicht herumkommen.
Schreib' mal auf, wie weit du kommst.
Lg
Herby
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und genau da liegt mein Problem bei der Moivre Formel, deswegen kann ich auch die anderen Aufgabe nicht lösen!
(alle z für [mm] z^4=1 [/mm] und alle z für [mm] z^8=1)
[/mm]
Vielleicht kannst du mir die Moivre Formel an einem Beispiel erklären?
Mathegirl
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Hallo,
> und genau da liegt mein Problem bei der Moivre Formel,
> deswegen kann ich auch die anderen Aufgabe nicht lösen!
>
> (alle z für [mm]z^4=1[/mm] und alle z für [mm]z^8=1)[/mm]
>
> Vielleicht kannst du mir die Moivre Formel an einem
> Beispiel erklären?
Vllt. ist es ganz sinnvoll, wenn du dich da mal selbst dran versuchst, statt dir das vorkauen zu lassen.
Das kann doch nur gut sein für den Umgang mit den komplexen Zahlen.
Es wurde in diesem thread ja alles, was du an Hilfsmitteln benötigst, bereitgestellt.
Die Winkel kannst du an einer Skizze ablesen ...
Also probier's erstmal selber, dann kannst du ja posten, wie weit du kommst und wir sehen weiter ...
Schließlich willst du das lernen, und dazu gehört in der Mathematik nun mal, dass man sich selber einige Dinge erschließt und ausprobiert ...
>
> Mathegirl
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:27 Do 05.11.2009 | | Autor: | Mathegirl |
Das Problem beginnt ja schon bei einsetzen!! schon beim i*y...wo kriege ich das her, wenn ich nur [mm] z^n [/mm] habe?
kann man das nicht über wurzeln ausrechnen??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:29 Do 05.11.2009 | | Autor: | Mathegirl |
okay, ich habe es jetzt glaub ich doch verstanden..ich versuche es grad mal..
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:35 Do 05.11.2009 | | Autor: | Mathegirl |
[mm] z^4= [/mm] [ 1(cos [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] + i*sin [mm] \bruch{\pi}{4} ]^4
[/mm]
= [mm] 1^4[ [/mm] cos(4* [mm] \bruch{\pi}{4}) [/mm] + i*sin (4* [mm] \bruch{\pi}{4}) [/mm] ]
= 1(cos [mm] \pi [/mm] + i*si [mm] \pi)
[/mm]
= 1(-1+i0) = -1
Ne andere Idee habe ich nun leider nicht mehr....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:39 Do 05.11.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo,
warte bitte noch kurz meine andere Antwort ab, dann kannst du loslegen
Lg
Herby
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:50 Do 05.11.2009 | | Autor: | Herby |
Hi,
> und genau da liegt mein Problem bei der Moivre Formel,
> deswegen kann ich auch die anderen Aufgabe nicht lösen!
>
> (alle z für [mm]z^4=1[/mm] und alle z für [mm]z^8=1)[/mm]
>
> Vielleicht kannst du mir die Moivre Formel an einem
> Beispiel erklären?
ok, nehmen wir wieder [mm] z^3=1
[/mm]
Zuerst brauchen wir für die Zahl [mm] z=\green{x}+\blue{y}i [/mm] eine Darstellung der Form [mm] z=r*(\cos(\red{\varphi})+\sin(\red{\varphi})*i)
[/mm]
r ist der Betrag der komplexen Zahl und errechnet sich durch [mm] |z|=r=\wurzel{\green{x}^2+\blue{y}^2}
[/mm]
Unsere Zahl [mm] z=\green{1}+\blue{0}i [/mm] hat also den Betrag [mm] |z|=\wurzel{1^2+0^2}=1
[/mm]
Der Winkel [mm] \varphi [/mm] berechnet sich aus [mm] \tan(\varphi)=\bruch{\blue{y}}{\green{x}} [/mm] (Anm: wobei hier immer darauf geachtet werden muss, in welchem Quadranten unsere komplexe Zahl zu finden ist - d.h. er muss ggf. mit dem Wert [mm] \pi [/mm] oder [mm] 2\pi [/mm] ergänzt werden).
Hier ist [mm] \tan{\varphi}=\bruch{\blue{0}}{\green{1}}=0\quad \Rightarrow\quad \varphi=arctan(0)=\red{0}
[/mm]
Damit habe wir schon alles, was wir für die Moivre-Formel benötigen
[mm] $\wurzel[n]{z} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{r}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)+i\cdot{}\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\right]\quad \text{mit}\quad [/mm] k \ = \ 0 \ ... \ (n-1)$
Rechnungen:
[mm] z_1=\wurzel[3]{1}*\left[\underbrace{\cos\left(\bruch{\red{0}+0\cdot{}2\pi}{3}\right)}_{=1}+i\cdot{}\underbrace{\sin\left(\bruch{\red{0}+0\cdot{}2\pi}{3}\right)}_{=0}\right]=1
[/mm]
[mm] z_2=\wurzel[3]{1}*\left[\underbrace{\cos\left(\bruch{\red{0}+1\cdot{}2\pi}{3}\right)}_{=-\bruch{1}{2}}+i\cdot{}\underbrace{\sin\left(\bruch{\red{0}+1\cdot{}2\pi}{3}\right)}_{=\bruch{\wurzel{3}}{2}}\right]=-\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}*i
[/mm]
[mm] z_3=\wurzel[3]{1}*\left[\underbrace{\cos\left(\bruch{\red{0}+2\cdot{}2\pi}{3}\right)}_{=-\bruch{1}{2}}+i\cdot{}\underbrace{\sin\left(\bruch{\red{0}+2\cdot{}2\pi}{3}\right)}_{=-\bruch{\wurzel{3}}{2}}\right]=-\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}*i
[/mm]
wenn es irgendwo Fragen gibt, dann stell' sie
Lg
Herby
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Mit den Winklen erkennen und bestimmen habe ich noch so meine probleme...jedenfalls habe ich jetzt erkannt, das meine berechnug mit der Moivre Formel für [mm] z^4 [/mm] wohl richtig falsch ist! aber ich werde es gleich nochmal probieren und auch für n=6!
Vielen Dank für das gute Erklären! :) vielleicht klappt das bei mir ja auch irgendwann mal !
mathegirl
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Wenn ich n=4 berechnen will, dann muss ich doch bloß in den nenner 4 einsetze oder? UND woher habe ich das k? was ist das?
mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 Do 05.11.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo Mathegirl,
> Wenn ich n=4 berechnen will, dann muss ich doch bloß in
> den nenner 4 einsetze oder?
Ja!
> UND woher habe ich das k? was
> ist das?
das ist ein Laufindex, weil ja die Sinus- und Cosinusfunktionen [mm] 2\pi-periodische [/mm] Funktionen sind.
Es ist also z.B. [mm] \sin(\varphi)=\sin(\varphi+\red{1}*2\pi)=\sin(\varphi+\red{2}*2\pi)=\sin(\varphi+\red{3}*2\pi)=.....
[/mm]
Ich habe dir nun das ganze bis [mm] \red{3}=\green{4}-1 [/mm] aufgeschrieben, wenn du aber die Sinusse nachzählst, dann kommst du auf [mm] \text{\green{4}}. [/mm] Das liegt daran, dass wir ja mit [mm] 0*2\pi [/mm] starten. Der Index k läuft daher einfach von 0 bis [mm] \green{n}-1.
[/mm]
Hast du beispielsweise [mm] z^4 [/mm] dann setzt du nach der Reihe 0,1,2,3 ein, hast du [mm] z^9 [/mm] dann halt 0,1,...,8,9
Lg
Herby
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okay...vielen dank! und das muss ich aber für n=4 für k=1-3 unbedingt machen?? und bei n=6 dann also von k=1-5...
Gut! dann werde ich jetzt mal rechnen!! :)
vielen dank!
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 Do 05.11.2009 | | Autor: | Herby |
Hi,
> okay...vielen dank! und das muss ich aber für n=4 für
> k=1-3 unbedingt machen?? und bei n=6 dann also von
> k=1-5...
ja, genau - das muss
> Gut! dann werde ich jetzt mal rechnen!! :)
>
> vielen dank!
>
> Mathegirl
See you later.
Lg
Herby
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so....noch eine aller aller letzte Frage: wie kommt man auf 0.5
cos( [mm] \bruch{0+1*2\pi}{3} [/mm] ) ?? ich komme da auf 0.999
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:06 Do 05.11.2009 | | Autor: | Herby |
Hi,
> so....noch eine aller aller letzte Frage: wie kommt man auf
> 0.5
> cos( [mm]\bruch{0+1*2\pi}{3}[/mm] ) ?? ich komme da auf 0.999
das ist eine einfache Übung - stell' deine Rechenmaschine von DEG auf RAD um
Lg
Herby
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]"){kind=small}
