komplexe Zahlenfolgen finden < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:46 Do 12.12.2013 | | Autor: | Bindl |
| Aufgabe | Geben Sie jeweils komplexe Zahlenfolgen [mm] (cn)n\in\IN\sub [/mm] und [mm] (dn)n\in\IN\sub [/mm] an mit
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] cn = [mm] \infty [/mm] & [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] dn = 0
so dass der Eintritt folgender Fälle zu beobachten ist.
a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (cn dn) = [mm] -\infty
[/mm]
b) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (cn dn) = i
c) (cn dn) [mm] n\in\IN\sub [/mm] ist beschränkt, aber nicht konvergent |
Hi zusammen,
komplexe Folge kann ich in unserem Skript nicht finden und habe deswegen mal einfach Wikibooks befragt.
Für cn hätte ich beispielsweise (zn) = [mm] ((1+i)^n), [/mm] dann wird cn zu [mm] \infty
[/mm]
Für dn beispielsweise (zn) = [mm] \bruch{1+i}{n}, [/mm] dann wird dn 0
Nur [mm] \infty [/mm] * 0 wird ja nicht zu [mm] -\infty
[/mm]
Ich hoffe mir kann hier jemand helfen
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Hallo,
> Geben Sie jeweils komplexe Zahlenfolgen [mm](cn)n\in\IN\sub[/mm] und
> [mm](dn)n\in\IN\sub[/mm] an mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] cn = [mm]\infty[/mm] &
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] dn = 0
> so dass der Eintritt folgender Fälle zu beobachten ist.
> a) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (cn dn) = [mm]-\infty[/mm]
> b) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (cn dn) = i
> c) (cn dn) [mm]n\in\IN\sub[/mm] ist beschränkt, aber nicht
> konvergent
> Hi zusammen,
>
> komplexe Folge kann ich in unserem Skript nicht finden und
> habe deswegen mal einfach Wikibooks befragt.
> Für cn hätte ich beispielsweise (zn) = [mm]((1+i)^n),[/mm] dann
> wird cn zu [mm]\infty[/mm]
> Für dn beispielsweise (zn) = [mm]\bruch{1+i}{n},[/mm] dann wird dn
> 0
>
> Nur [mm]\infty[/mm] * 0 wird ja nicht zu [mm]-\infty[/mm]
>
> Ich hoffe mir kann hier jemand helfen
Überlegen wir der Einfachheit halber mal zuerst die b)
Es soll die Produktfolge gegen i streben.
Da liegt es doch nahe, die Folgen [mm](c_n)_{n\in\IN}, (d_n)_{n\in\IN}[/mm] so (einfach) zu wählen, dass deren Produkt [mm]=i[/mm] ist, somit [mm](c_nd_n)_{n\in\IN}[/mm] die konstante Folge [mm](i)_{n\in\IN}[/mm] ist ...
Ist das erstmal Hinweis genug?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Do 12.12.2013 | | Autor: | Bindl |
Wähle ich dann für cn = i & für dn = 1 ?
Habe mit komplexen Folgen null Erfahrungen
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Hallo nochmal,
> Wähle ich dann für cn = i & für dn = 1 ?
Nein, die gewählten Folgen müssen schon die Voraussetzungen erfüllen. [mm]c_n\to\infty[/mm] und [mm]d_n\to 0[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm]
Nimm mal [mm]c_n=n[/mm] und [mm]d_n=...[/mm]
>
> Habe mit komplexen Folgen null Erfahrungen
Das geht doch fast genauso wie mit den reellen Folgen ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 Do 12.12.2013 | | Autor: | Bindl |
Also beim besten Willen kommt mir keine Folge in den Sinn die * [mm] \infty [/mm] zu i wird, oder mit welcher Folge n im Produkt zu [mm] -\infty [/mm] wird.
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Hallo nochmal,
> Also beim besten Willen kommt mir keine Folge in den Sinn
> die * [mm]\infty[/mm] zu i wird, oder mit welcher Folge n im Produkt
> zu [mm]-\infty[/mm] wird.
Na, ich habe dir doch $b)$ schon fast verraten.
Nimm [mm] $(c_n)_{n\in\IN}=(n)_{n\in\IN}$ [/mm] und [mm] $(d_n)_{n\in\IN}=(i/n)_{n\in\IN}$
[/mm]
Dann strebt [mm] $c_n$ [/mm] gegen [mm] $\infty$ [/mm] und [mm] $d_n$ [/mm] gegen 0 (für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
Die erfüllen also die Voraussetzung.
Nun ist [mm] $c_n\cdot{}d_n=n\cdot{}i/n=i$
[/mm]
Also [mm] $(c_nd_n)_{n\in\IN}=(i)_{n\in\IN}$ [/mm] die konstante Folge $i,i,i,i,.....,i,i,i,......$
Bei den anderen Aufgaben musst du nur etwas variieren.
c) ist simpel mit Blick auf b)
a) ist eine kleine Variation ...
Bastel mal etwas rum ...
Ich mag nicht alles verraten ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Do 12.12.2013 | | Autor: | Bindl |
Ok,
ich dachte bei n * [mm] \bruch{i}{n} [/mm] = [mm] \bruch{i * \infty}{\infty}. [/mm] Scheint falsch zu sein.
Bei a) kann ich auch nur raten, da ich mir nichts darunter vorstellen kann.
cn = n & dn = [mm] \bruch{-n}{n} [/mm] cn * dn = -n
Obwohl dn dann ja nicht 0 ist.
Wie gesagt, ist geraten.
Und bei c) muss ich sagen das ich mir weiterhin nicht darunter vorstellen kann.
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Hallo,
> Ok,
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> ich dachte bei n * [mm]\bruch{i}{n}[/mm] = [mm]\bruch{i * \infty}{\infty}.[/mm]
> Scheint falsch zu sein.
??
$n*i/n=i$ und das strebt für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gegen i (ist ja konstant und völlig unabh. von n)
>
> Bei a) kann ich auch nur raten, da ich mir nichts darunter
> vorstellen kann.
> cn = n & dn = [mm]\bruch{-n}{n}[/mm] cn * dn = -n
> Obwohl dn dann ja nicht 0 ist.
Genau, das ist das Problem!
Du musst mehr probieren, nimm mal Quadrate statt der linearen n ...
Das fällt alles fast vom Himmel, wenn man etwas konzentriert rumbastelt ...
Nimm für [mm] $c_n$ [/mm] statt n mal [mm] $n^2$ [/mm] ....
Dann solltest du doch ein passendes [mm] $d_n$ [/mm] finden, so dass [mm] $d_n\to [/mm] 0$ und [mm] $c_n\cdot{}d_n\to-\infty$
[/mm]
>
> Wie gesagt, ist geraten.
> Und bei c) muss ich sagen das ich mir weiterhin nicht
> darunter vorstellen kann.
Das geht wie b), nur statt i was anderes nehmen, so dass die Produktfolge divergiert, aber beschränkt bleibt ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Do 12.12.2013 | | Autor: | Bindl |
bei b) hab cih was da passen könnte.
cn = [mm] n^2 [/mm] & dn = [mm] \bruch{-1}{n}
[/mm]
Stimmt das ?
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Hallo,
> bei b) hab cih was da passen könnte.
>
> cn = [mm]n^2[/mm] & dn = [mm]\bruch{-1}{n}[/mm]
>
> Stimmt das ?
Das passt für a), denn [mm] $c_nd_n=-n\to-\infty$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:02 Do 12.12.2013 | | Autor: | Bindl |
sorry ich meinte ja a)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:58 Do 12.12.2013 | | Autor: | abakus |
> Geben Sie jeweils komplexe Zahlenfolgen [mm](cn)n\in\IN\sub[/mm] und
> [mm](dn)n\in\IN\sub[/mm] an mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] cn = [mm]\infty[/mm] &
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] dn = 0
> so dass der Eintritt folgender Fälle zu beobachten ist.
> a) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (cn dn) = [mm]-\infty[/mm]
> b) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (cn dn) = i
> c) (cn dn) [mm]n\in\IN\sub[/mm] ist beschränkt, aber nicht
> konvergent
> Hi zusammen,
>
> komplexe Folge kann ich in unserem Skript nicht finden und
> habe deswegen mal einfach Wikibooks befragt.
> Für cn hätte ich beispielsweise (zn) = [mm]((1+i)^n),[/mm] dann
> wird cn zu [mm]\infty[/mm]
> Für dn beispielsweise (zn) = [mm]\bruch{1+i}{n},[/mm] dann wird dn
> 0
>
> Nur [mm]\infty[/mm] * 0 wird ja nicht zu [mm]-\infty[/mm]
>
> Ich hoffe mir kann hier jemand helfen
Hallo Bindl,
was soll (cn dn) bedeuten?
Gehört da eventuell ein Komma dazwischen (als Trennung zwischen Real- und Imaginärteil)?
Gruß Abakus
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Hallo abakus,
> > Geben Sie jeweils komplexe Zahlenfolgen [mm](cn)n\in\IN\sub[/mm]
> und
> > [mm](dn)n\in\IN\sub[/mm] an mit
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] cn = [mm]\infty[/mm] &
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] dn = 0
> > so dass der Eintritt folgender Fälle zu beobachten
> ist.
> > a) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (cn dn) = [mm]-\infty[/mm]
> > b) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (cn dn) = i
> > c) (cn dn) [mm]n\in\IN\sub[/mm] ist beschränkt, aber nicht
> > konvergent
> > Hi zusammen,
> >
> > komplexe Folge kann ich in unserem Skript nicht finden
> und
> > habe deswegen mal einfach Wikibooks befragt.
> > Für cn hätte ich beispielsweise (zn) = [mm]((1+i)^n),[/mm]
> dann
> > wird cn zu [mm]\infty[/mm]
> > Für dn beispielsweise (zn) = [mm]\bruch{1+i}{n},[/mm] dann wird
> dn
> > 0
> >
> > Nur [mm]\infty[/mm] * 0 wird ja nicht zu [mm]-\infty[/mm]
> >
> > Ich hoffe mir kann hier jemand helfen
> Hallo Bindl,
> was soll (cn dn) bedeuten?
> Gehört da eventuell ein Komma dazwischen (als Trennung
> zwischen Real- und Imaginärteil)?
Das scheint mir im Hinblick auf die Voraussetzung keinen Sinn zu ergeben. Wie sollte denn zB. wenn [mm] $c_n\to\infty$ [/mm] und [mm] $d_n$ [/mm] gegen 0 geht, der Imaginärteil von [mm] $c_n+id_n$ [/mm] gegen $i$ gehen?
Oder übersehe ich da mal wieder was?
Was meinst du?
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:28 Do 12.12.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo abakus,
>
> > > Geben Sie jeweils komplexe Zahlenfolgen [mm](cn)n\in\IN\sub[/mm]
> > und
> > > [mm](dn)n\in\IN\sub[/mm] an mit
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] cn = [mm]\infty[/mm] &
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] dn = 0
> > > so dass der Eintritt folgender Fälle zu beobachten
> > ist.
> > > a) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (cn dn) = [mm]-\infty[/mm]
> > > b) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (cn dn) = i
> > > c) (cn dn) [mm]n\in\IN\sub[/mm] ist beschränkt, aber nicht
> > > konvergent
> > > Hi zusammen,
> > >
> > > komplexe Folge kann ich in unserem Skript nicht
> finden
> > und
> > > habe deswegen mal einfach Wikibooks befragt.
> > > Für cn hätte ich beispielsweise (zn) = [mm]((1+i)^n),[/mm]
> > dann
> > > wird cn zu [mm]\infty[/mm]
> > > Für dn beispielsweise (zn) = [mm]\bruch{1+i}{n},[/mm] dann
> wird
> > dn
> > > 0
> > >
> > > Nur [mm]\infty[/mm] * 0 wird ja nicht zu [mm]-\infty[/mm]
> > >
> > > Ich hoffe mir kann hier jemand helfen
> > Hallo Bindl,
> > was soll (cn dn) bedeuten?
> > Gehört da eventuell ein Komma dazwischen (als Trennung
> > zwischen Real- und Imaginärteil)?
>
> Das scheint mir im Hinblick auf die Voraussetzung keinen
> Sinn zu ergeben. Wie sollte denn zB. wenn [mm]c_n\to\infty[/mm] und
> [mm]d_n[/mm] gegen 0 geht, der Imaginärteil von [mm]c_n+id_n[/mm] gegen [mm]i[/mm]
> gehen?
>
> Oder übersehe ich da mal wieder was?
>
> Was meinst du?
>
>
> Gruß
>
> schachuzipus
Hallo,
für komplexe(!) Zahlen macht doch eine Unterscheidung "geht gegen plus unendlich" oder "geht gegen minus unendlich" überhaupt keinen Sinn!
Der Betrag kann gegen unendlich gehen - und fertig!
Ohne eine Aussage, wo das Argument bei dieser Grenzwertbildung hingeht, ist das Ganze etwas fragwürdig formuliert.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:34 Do 12.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Abakus,
> für komplexe(!) Zahlen macht doch eine Unterscheidung
> "geht gegen plus unendlich" oder "geht gegen minus
> unendlich" überhaupt keinen Sinn!
eigentlich nicht - und eigentlich doch: [mm] $\IR \subseteq \IC\,.$
[/mm]
Aber eigentlich hast Du Recht, dass bei der Aufgabe da
wirklich etwas schlampig formuliert wurde...
> Der Betrag kann gegen unendlich gehen - und fertig!
> Ohne eine Aussage, wo das Argument bei dieser
> Grenzwertbildung hingeht, ist das Ganze etwas fragwürdig
> formuliert.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Man kann natürlich dennoch versuchen, etwas zu basteln,
wann wir sagen wollen, dass eine komplexwertige Folge
gegen [mm] $-\infty$ [/mm] streben möge:
Die Realteilfolge laufe gegen [mm] $-\infty$ [/mm] und die Imaginärteilfolge
gegen Null.
Ob das sinnvoll ist, habe ich mir auf die Schnelle nicht
überlegt. Aber "naiv" kann man sowas ja erstmal benutzen
(was aber Aufgabe des Aufgabenstellers gewesen wäre, sowas
mitzuliefern).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:30 Do 12.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo abakus,
>
> > > Geben Sie jeweils komplexe Zahlenfolgen [mm](cn)n\in\IN\sub[/mm]
> > und
> > > [mm](dn)n\in\IN\sub[/mm] an mit
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] cn = [mm]\infty[/mm] &
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] dn = 0
> > > so dass der Eintritt folgender Fälle zu beobachten
> > ist.
> > > a) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (cn dn) = [mm]-\infty[/mm]
> > > b) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (cn dn) = i
> > > c) (cn dn) [mm]n\in\IN\sub[/mm] ist beschränkt, aber nicht
> > > konvergent
> > > Hi zusammen,
> > >
> > > komplexe Folge kann ich in unserem Skript nicht
> finden
> > und
> > > habe deswegen mal einfach Wikibooks befragt.
> > > Für cn hätte ich beispielsweise (zn) = [mm]((1+i)^n),[/mm]
> > dann
> > > wird cn zu [mm]\infty[/mm]
> > > Für dn beispielsweise (zn) = [mm]\bruch{1+i}{n},[/mm] dann
> wird
> > dn
> > > 0
> > >
> > > Nur [mm]\infty[/mm] * 0 wird ja nicht zu [mm]-\infty[/mm]
> > >
> > > Ich hoffe mir kann hier jemand helfen
> > Hallo Bindl,
> > was soll (cn dn) bedeuten?
> > Gehört da eventuell ein Komma dazwischen (als Trennung
> > zwischen Real- und Imaginärteil)?
>
> Das scheint mir im Hinblick auf die Voraussetzung keinen
> Sinn zu ergeben. Wie sollte denn zB. wenn [mm]c_n\to\infty[/mm] und
> [mm]d_n[/mm] gegen 0 geht, der Imaginärteil von [mm]c_n+id_n[/mm] gegen [mm]i[/mm]
> gehen?
>
> Oder übersehe ich da mal wieder was?
ist schon korrekt, wie Du das machst. Eventuell hat Abakus
einfach übersehen, dass [mm] $(c_n)_n$ [/mm] und [mm] $(d_n)_n$ [/mm] komplexwertig
sein sollen - dann dachte er vielleicht an sowas wie
$(a,b) [mm] \in \IR^2 \cong \IC\,.$
[/mm]
Aber eigentlich steht oben alles richtig:
[mm] $\lim_{n \to \infty} (c_n d_n)=\lim_{n \to \infty} c_n*d_n\,.$
[/mm]
Und rechterhand "sollte" man eigentlich tatsächlich besser
die Klammern setzen:
[mm] $\lim_{n \to \infty} (c_n*d_n)\,.$
[/mm]
Aber das ist ja aus dem Zshg. absolut klar, wie das gelesen
werden soll...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:39 Do 12.12.2013 | | Autor: | Bindl |
Nein das soll ein Produkt sein
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:53 Do 12.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Nein das soll ein Produkt sein
Du solltest aber den Aufgabensteller durchaus auf Abakus
Einwand hinweisen, dass es für komplexwertige Folgen i.A.
keinen Sinn macht, davon zu sprechen, dass sie gegen [mm] $\red{-}\;\infty$
[/mm]
streben (sollen).
Gruß,
Marcel
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Hallo,
m.E. ist die Aufgabe klar gestellt,
das das Produkt zweier komplexwertiger Funktionen gegen [mm] $-\infty$ [/mm] gehen soll, impliziert doch, dass das Produkt [mm] $c_nd_n$ [/mm] reell ist (bzw. [mm] $(a_nb_n)_{n\in\IN}$ [/mm] reellwertig).
Und das soll man sich basteln 
Ist wie bei Löwenzahn
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:29 Do 12.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> m.E. ist die Aufgabe klar gestellt,
>
> das das Produkt zweier komplexwertiger Funktionen gegen
> [mm]-\infty[/mm] gehen soll, impliziert doch, dass das Produkt
> [mm]c_nd_n[/mm] reell ist (bzw. [mm](a_nb_n)_{n\in\IN}[/mm] reellwertig).
[mm] $(a_nb_n)$ [/mm] kann eh machen, was es will. Denn die Dinger oben heißen doch
[mm] $c_n$ [/mm] und [mm] $d_n$ [/mm] (ich frage mich sowieso, wieso... aber vielleicht geht ja eine
Aufgabe voran, wo man [mm] $a_n\,,b_n$ [/mm] verwendet...)
> Und das soll man sich basteln
>
> Ist wie bei Löwenzahn
Kann man eigentlich sehen, wie man will. Ist so ähnlich wie mit der
n-ten Wurzel aus einer komplexen Zahl:
Man definiert
[mm] $\sqrt[n]{z}$
[/mm]
in [mm] $\IC$ [/mm] nicht als eine ausgezeichnete Zahl. Aber für $z [mm] \in [0,\infty):$
[/mm]
Welche Definition benutzt man dann?
[mm] $\sqrt[n]{z}$
[/mm]
ist also gar keine wirkliche Erweiterung der "üblichen" n-ten Wurzel, die
man vorher kennengelernt hat. Aber da denkt keiner drüber nach, wenn
er
[mm] $\sqrt[4]{81}=3$
[/mm]
schreibt... Er sagt einfach $81 [mm] \ge 0\,,$ [/mm] also nehme ich das altbekannte. Wenn
aber jemand alle komplexen Lösungen [mm] $w\,$ [/mm] von [mm] $w^4=81$ [/mm] haben will...
Gruß,
Marcel
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