komplexe differenzierbarkeit < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:50 Do 28.02.2008 | | Autor: | bubble |
| Aufgabe | | Ist f(x+iy)= [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] i(x^2 [/mm] - [mm] y^2) [/mm] komplex differenzierbar? Man bestimme alle Punke, in denen f komplex differenzierbar ist. |
wie kann ich bestimmen, in welchen Punkte f komplex differenzierbar ist?
Wenn ich die Cauchy-Riemann Gleichung anwende, müsste
[mm] u_{x}(x,y) [/mm] = [mm] v_{y}(x,y) [/mm] und [mm] u_{y}(x,y) [/mm] = [mm] v_{x}(x,y) [/mm] sein.
Meine Ergebnisse sind folgendermassen:
[mm] u_{x}(x,y) [/mm] = 2x [mm] \not= v_{y}(x,y) [/mm] = -2y
[mm] u_{y}(x,y) [/mm] = 2y [mm] \not= v_{x}(x,y) [/mm] =2x
Was bedeutet das nun?
Ich habe diese Aufgabe in keinem anderen Forum gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:53 Do 28.02.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo, nur eine Ausbesserung:
> Wenn ich die Cauchy-Riemann Gleichung anwende, müsste
> [mm]u_{x}(x,y)[/mm] = [mm]v_{y}(x,y)[/mm] und [mm]u_{y}(x,y)[/mm] = [mm]v_{x}(x,y)[/mm] sein.
Es heißt
[mm] $u_y(x,y)\,=\,\textbf{-}v_x(x,y)$
[/mm]
Gruß Denny
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:07 Do 28.02.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
> Meine Ergebnisse sind folgendermassen:
> [mm]u_{x}(x,y)[/mm] = 2x [mm]\not= v_{y}(x,y)[/mm] = -2y
> [mm]u_{y}(x,y)[/mm] = 2y [mm]\not= v_{x}(x,y)[/mm] =2x
Lass mal die Ungleichheitszeichen weg! Die Funktion ist genau in den Punkten $x+iy$ komplex differenzierbar, die auch die Gleichung
[mm] $2x\,=\,u_{x}(x,y)\,=\,v_y(x,y)\,=\,-2y$
[/mm]
[mm] $2y\,=\,u_{y}(x,y)\,=\,-v_x(x,y)\,=\,-2x$
[/mm]
erfüllen, also der Bedingung $2x=-2y$ genügt. Dies ist genau dann der Fall, wenn $x=-y$ ist, also für die Punkte $x-ix$ mit [mm] $x\in\IR$. [/mm] Bildlich sind dies alle Punkte im Koordinatensystem des [mm] $IR^2$, [/mm] die auf der Diagonalen
von links oben nach rechts unten liegen.
Beachte Deinen Vorzeichnenfehler!!
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:34 Do 28.02.2008 | | Autor: | bubble |
Danke, nun habe ich es verstanden.
Bubble
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