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| Aufgabe | [mm] z\in \IC [/mm] sei eine fest gewählte komplexe zahl und a(n) die durch
a(n):= [mm] (i+\bruch{z}{n^{2}})^{n} [/mm] gegebene folge komplexer zahlen.Untersuchen Sie,ob die folge a(n) beschränkt ist,und bestimmen Sie ihre Häufungspunkte in [mm] \IC [/mm] |
also das was ich bisher versucht habe:
sei z=a+ib ,dann ist [mm] a(n):=(i+\bruch{a+ib}{n^{2}})^{n} [/mm]
[mm] =(\bruch{a}{n^{2}}+i(1+\bruch{b}{n^{2}})^{n} [/mm]
ich habe versucht erst mal eine obere schranke zu finden
[mm] (\bruch{a}{n^{2}}+i(1+\bruch{b}{n^{2}})^{n})\le
[/mm]
[mm] (\bruch{a+1}{n^{2}}+i(1+\bruch{b+1}{n^{2}})^{n})
[/mm]
was aber nur in [mm] \IR [/mm] funktioniert(also ist a(n) reell unbeschränkt.(ich habe z.b. für a,b=-1 und n=1,2 herausbekommen:
für n=1 ergibt -1+0i
n=2 ergibt -11/16 + i3/16
aber häufungspunkte habe ich welche sowohl im reellen als auch im [mm] \IC [/mm] ge-
funden:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{a}{n^{2}}+i(1+\bruch{b}{n^{2}})^{n}) [/mm] =
i alternierend mit -1.
wäre nett ,wenn mir jemand weiterhelfen könnte ,ich habe das gefühl ,das ich alles falsch mache.
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Überführung in Polarkoordinaten:
a(n) = [mm] (\bruch{a}{n^2}+i*(1+\bruch{b}{n^2}))^{n}
[/mm]
= [mm] (\bruch{\wurzel{a^2+b^2+2bn^2+n^4}}{n^2}*e^{i*arctan\bruch{b+n^2}{a}})^{n}
[/mm]
= [mm] (\bruch{\wurzel{a^2+b^2+2bn^2+n^4}}{n^2})^{n}*e^{i*n*arctan\bruch{b+n^2}{a}}
[/mm]
Und jetzt für den Radius bzw. den Winkel Konvergenz bzw. Häufungspunkte überprüfen.
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polarkoordinaten nicht erlaubt,da nicht in vorlesung gegeben,aber danke trotzdem .
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