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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:26 Do 15.04.2010 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | (1) Drücken Sie ausgehend von der Euler Formel [mm] \mbox{cos}(\varphi) [/mm] und [mm] \mbox{sin}(\varphi) [/mm] mittels der Exponentialfunktion aus.
(2) Ermitteln Sie arccos(z) und [mm] \mbox{arcsin}(z) [/mm] mittels des Logarithmus.
Nun sei f eine komplexe Funktion f=u+iv der komplexen Variablen [mm] z=x+iy,\, x,y\in\mathbb{R}.
[/mm]
Es ist: [mm] u=x^{2}+y^{2},\, [/mm] v=2xy.
(3) Drücken Sie f mittels z und [mm] \overline{z} [/mm] aus. |
Hallo,mir ist teilweise nicht ganz klar, was ich machen soll.
Zu (1): Euler sagt: [mm] e^{i\varphi}=cos(\varphi)+isin(\varphi). [/mm] Wenn ich das jetzt einfach nach der entsprechenden trigonometrischen Funktion umstelle, wäre die Aufgabe ziemlich witzlose Papierverschwendung (also nur diesen einen Rechenbefehl auszuführen). Also muss ich wohl noch etwas mehr machen. Ich kenne noch: [mm] cos(z)=\frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz}), [/mm] was aber für komplexe z gemeint ist und ich gehe davon aus, dass [mm] \varphi [/mm] reell ist, auch wenns nirgendwo erwähnt wird. Weiß also jemand, welche Schritte ich noch weiter ausführen soll?
Zu (2): Ich habe etwas gesucht und gefunden: [mm] arccos(z)=-i\mbox{ln}(iz+\sqrt{1-z^{2}}) [/mm] und ähnliches für arcsin. Ich gehe also davon aus, dass das das Endergebnis sein soll, aber wie muss ich denn Anfangen? Ich sehe sonst keine Bezihung zwischen arccos und der Exponentialfunktion bzw. dem Logarithmus.
Zu(3): Mit den gegebenen Sachen komme ich zu: [mm] f=x^{2}+y^{2}-2ixy [/mm] und das wäre dann einfach [mm] z^{2}. [/mm] Dann hätte ich aber nirgends die komplex konjugierte benutzt. Wie ist das wohl gemeint?Vielleicht hat ja jemand einige Ideen?
Grüße
Unk
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:30 Do 15.04.2010 | | Autor: | Fulla |
Hallo Unk,
> Zu (1): Euler sagt:
> [mm]e^{i\varphi}=cos(\varphi)+isin(\varphi).[/mm] Wenn ich das jetzt
> einfach nach der entsprechenden trigonometrischen Funktion
> umstelle, wäre die Aufgabe ziemlich witzlose
> Papierverschwendung (also nur diesen einen Rechenbefehl
> auszuführen). Also muss ich wohl noch etwas mehr machen.
> Ich kenne noch: [mm]cos(z)=\frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz}),[/mm] was
> aber für komplexe z gemeint ist und ich gehe davon aus,
> dass [mm]\varphi[/mm] reell ist, auch wenns nirgendwo erwähnt wird.
> Weiß also jemand, welche Schritte ich noch weiter
> ausführen soll?
Du sollst hier ausgehend von [mm] $e^{i\varphi}=\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)$ [/mm] (Euler) auf [mm] $\cos(\varphi)=\frac{1}{2}(e^{i\varphi}+e^{-i\varphi})$ [/mm] (und entsprechend für den Sinus) kommen.
Löse dazu (Euler) z.B. nach [mm] $\cos(\varphi)$ [/mm] auf und nutze [mm] $\cos^2(\varphi)+\sin^2(\varphi)=1$.
[/mm]
> Zu (2): Ich habe etwas gesucht und gefunden:
> [mm]arccos(z)=-i\mbox{ln}(iz+\sqrt{1-z^{2}})[/mm] und ähnliches
> für arcsin. Ich gehe also davon aus, dass das das
> Endergebnis sein soll, aber wie muss ich denn Anfangen? Ich
> sehe sonst keine Bezihung zwischen arccos und der
> Exponentialfunktion bzw. dem Logarithmus.
Gehe hier von [mm] $\cos(z)=\frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz})$ [/mm] aus und löse nach $z$ auf. Dazu kannst du [mm] $e^{iz}$ [/mm] durch x substituieren und die quadratische Gleichung lösen. Am Ende hast du [mm] $e^{iz}=\ldots$ [/mm] - darauf kannst du den Logarithmus loslassen. Du musst aber ein bisschen aufpassen (fällt eine Lösung weg? Wenn ja, warum? Welchen Zweig des Log nimmst du? ...)
> Zu(3): Mit den gegebenen Sachen komme ich zu:
> [mm]f=x^{2}+y^{2}-2ixy[/mm]
Ich komme da auf [mm] $x^2+y^2+2ixy$
[/mm]
> und das wäre dann einfach [mm]z^{2}.[/mm]
Das stimmt so oder so nicht....
> Dann
> hätte ich aber nirgends die komplex konjugierte benutzt.
> Wie ist das wohl gemeint?Vielleicht hat ja jemand einige
> Ideen?
Rechne doch mal aus, was [mm] $z^2$, $\overline{z}^2$, $z\overline [/mm] z$,... ist. Wenn du das geschickt kombinierst, kommst du auf deine Funktion.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Do 15.04.2010 | | Autor: | Unk |
Hallo,
> > Zu (2): Ich habe etwas gesucht und gefunden:
> > [mm]arccos(z)=-i\mbox{ln}(iz+\sqrt{1-z^{2}})[/mm] und ähnliches
> > für arcsin. Ich gehe also davon aus, dass das das
> > Endergebnis sein soll, aber wie muss ich denn Anfangen? Ich
> > sehe sonst keine Bezihung zwischen arccos und der
> > Exponentialfunktion bzw. dem Logarithmus.
>
> Gehe hier von [mm]\cos(z)=\frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz})[/mm] aus und
> löse nach [mm]z[/mm] auf. Dazu kannst du [mm]e^{iz}[/mm] durch x
> substituieren und die quadratische Gleichung lösen. Am
> Ende hast du [mm]e^{iz}=\ldots[/mm] - darauf kannst du den
> Logarithmus loslassen. Du musst aber ein bisschen aufpassen
> (fällt eine Lösung weg? Wenn ja, warum? Welchen Zweig des
> Log nimmst du? ...)
[mm] \mbox{cos}z
[/mm]
hier entfällt die positive Lösung (mit + vor dem Wurzelterm) wegen der Eulerformel! Kann man das auch mit der Einschränkung auf den Hauptzweig begründen?
Weiter: [mm] \Leftrightarrow z=-i\mbox{ln}\left(\mbox{cos}z-\sqrt{\mbox{cos}^{2}(z)-1}\right).
[/mm]
Jetzt sieht das ja dem wo ich drauf hinauswill schon ziemlich ähnlich. Nur, dass das war:
[mm] \mbox{arccos}(z)=-i\mbox{ln}\left(z-i\sqrt{1-z^{2}}\right). [/mm] Wenn ich aber auf mein Ergebnis den arccos anwende, steht auf der rechten Seite dann: [mm] \mbox{arccos}(-i\mbox{ln}\left(\mbox{cos}z-\sqrt{\mbox{cos}^{2}(z)-1}\right)).
[/mm]
Wie ist das denn richtig zu machen?
>
> > Zu(3): Mit den gegebenen Sachen komme ich zu:
> > [mm]f=x^{2}+y^{2}-2ixy[/mm]
> Ich komme da auf [mm]x^2+y^2+2ixy[/mm]
> > und das wäre dann einfach [mm]z^{2}.[/mm]
> Das stimmt so oder so nicht....
> > Dann
> > hätte ich aber nirgends die komplex konjugierte benutzt.
> > Wie ist das wohl gemeint?Vielleicht hat ja jemand einige
> > Ideen?
>
> Rechne doch mal aus, was [mm]z^2[/mm], [mm]\overline{z}^2[/mm], [mm]z\overline z[/mm],...
> ist. Wenn du das geschickt kombinierst, kommst du auf deine
> Funktion.
Ich hatte mich hier beim Abschreiben vertan. u soll vielmer sein: [mm] u=x^2-y^2. [/mm] Und damit stimmt dann [mm] f=x^2-y^2+2ixy=z^2.
[/mm]
Dann habe ich entweder was vergessen, oder die Aufgabenstellung ist fehlerhaft, weill ich ja nirgendswo das Komplement von z verwendet habe.
Oder kann man das dann auch noch irgendwie mit [mm] \overline{z} [/mm] darstellen?
Gruß Unk
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:38 Fr 16.04.2010 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal!
> Hallo,
>
> > > Zu (2): Ich habe etwas gesucht und gefunden:
> > > [mm]arccos(z)=-i\mbox{ln}(iz+\sqrt{1-z^{2}})[/mm] und ähnliches
> > > für arcsin. Ich gehe also davon aus, dass das das
> > > Endergebnis sein soll, aber wie muss ich denn Anfangen? Ich
> > > sehe sonst keine Bezihung zwischen arccos und der
> > > Exponentialfunktion bzw. dem Logarithmus.
> >
> > Gehe hier von [mm]\cos(z)=\frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz})[/mm] aus und
> > löse nach [mm]z[/mm] auf. Dazu kannst du [mm]e^{iz}[/mm] durch x
> > substituieren und die quadratische Gleichung lösen. Am
> > Ende hast du [mm]e^{iz}=\ldots[/mm] - darauf kannst du den
> > Logarithmus loslassen. Du musst aber ein bisschen aufpassen
> > (fällt eine Lösung weg? Wenn ja, warum? Welchen Zweig des
> > Log nimmst du? ...)
>
> [mm]\mbox{cos}z[/mm]
>
> hier entfällt die positive Lösung (mit + vor dem
> Wurzelterm) wegen der Eulerformel! Kann man das auch mit
> der Einschränkung auf den Hauptzweig begründen?
>
> Weiter: [mm]\Leftrightarrow z=-i\mbox{ln}\left(\mbox{cos}z-\sqrt{\mbox{cos}^{2}(z)-1}\right).[/mm]
>
> Jetzt sieht das ja dem wo ich drauf hinauswill schon
> ziemlich ähnlich. Nur, dass das war:
>
> [mm]\mbox{arccos}(z)=-i\mbox{ln}\left(z-i\sqrt{1-z^{2}}\right).[/mm]
> Wenn ich aber auf mein Ergebnis den arccos anwende, steht
> auf der rechten Seite dann:
> [mm]\mbox{arccos}(-i\mbox{ln}\left(\mbox{cos}z-\sqrt{\mbox{cos}^{2}(z)-1}\right)).[/mm]
>
> Wie ist das denn richtig zu machen?
Du bist schon (fast) fertig. Jetzt, wo du die Formel nach z aufgelöst hast, kannst du die Variablen "vertauschen" und erhältst die Umkehrfunktion. Also [mm] $z\Leftrightarrow\arccos(z)$ [/mm] und [mm] $\cos(z)\Leftrightarrow [/mm] z$.
Unter der Wurzel kannst du noch -1 ausklammern und als i vorziehen.
> > > Zu(3): Mit den gegebenen Sachen komme ich zu:
> > > [mm]f=x^{2}+y^{2}-2ixy[/mm]
> > Ich komme da auf [mm]x^2+y^2+2ixy[/mm]
> > > und das wäre dann einfach [mm]z^{2}.[/mm]
> > Das stimmt so oder so nicht....
> > > Dann
> > > hätte ich aber nirgends die komplex konjugierte benutzt.
> > > Wie ist das wohl gemeint?Vielleicht hat ja jemand einige
> > > Ideen?
> >
> > Rechne doch mal aus, was [mm]z^2[/mm], [mm]\overline{z}^2[/mm], [mm]z\overline z[/mm],...
> > ist. Wenn du das geschickt kombinierst, kommst du auf deine
> > Funktion.
>
> Ich hatte mich hier beim Abschreiben vertan. u soll vielmer
> sein: [mm]u=x^2-y^2.[/mm] Und damit stimmt dann [mm]f=x^2-y^2+2ixy=z^2.[/mm]
>
> Dann habe ich entweder was vergessen, oder die
> Aufgabenstellung ist fehlerhaft, weill ich ja nirgendswo
> das Komplement von z verwendet habe.
> Oder kann man das dann auch noch irgendwie mit
> [mm]\overline{z}[/mm] darstellen?
Wenn die Angabe so stimmt, ist [mm] z^2 [/mm] richtig.
Liebe Grüße,
Fulla
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