komplexe gleichung lösen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:53 Mi 04.11.2009 | | Autor: | peeetaaa |
| Aufgabe | | [mm] z^3=-2+2i [/mm] |
Hey, hab mit der aufgabe schon angefangen aber komme nicht weiter weil ich noch nie mit dem argument gerechnet hab und jetzt nicht weiß wie ich das berechnen soll!!!
hab das bis jetzt:
[mm] |z^3|=|-2+2i|
[/mm]
[mm] |z|=^3\wurzel{-2+2i}
[/mm]
z=|z|(cos(Arg(z))+isin(Arg(z)))
[mm] =^3\wurzel{|-2+2i|}(cos\bruch{(Arg(-2+2i)+2k\pi}{3} +isin(\bruch{Arg(-2+2i)+2k\pi}{3}))
[/mm]
jetzt weiß ich nicht mehr weiter
kann mir jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:45 Mi 04.11.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo Peter,
> [mm]z^3=-2+2i[/mm]
> Hey, hab mit der aufgabe schon angefangen aber komme nicht
> weiter weil ich noch nie mit dem argument gerechnet hab und
> jetzt nicht weiß wie ich das berechnen soll!!!
>
> hab das bis jetzt:
> [mm]|z^3|=|-2+2i|[/mm]
> [mm]|z|=^3\wurzel{-2+2i}[/mm]
nein, das stimmt so nicht. Der Betrag einer komplexen Zahl berechnet sich folgendermaßen:
Wenn [mm] z=x+y\mathsf{i} [/mm] ist, dann lautet der Betrag: [mm] |z|=\wurzel{x^2+y^2}
[/mm]
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") die imaginäre Einheit hat unter der Wurzel nichts verloren. Stell' dir die komplexe Zahl als Zeiger in einem kartesischen Koordinatensystem vor und berechne dann dessen Länge (Pythagoras)
> z=|z|(cos(Arg(z))+isin(Arg(z)))
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ja
Das Argument einer komplexen Zahl in der trigonometrischen Darstellung erhältst du auch hier, wenn du wieder das kartesische Koordinatensystem zu Hilfe nimmst. Mit dem Argument von z, kurz "arg(z)" ist nämlich der Winkel gemeint, welchen der Zeiger mit der reellen Achse einschließt. Man sagt auch Hauptwert dazu.
Berechnet wird er dann über die trigonometrische Funktion [mm] \tan(\varphi). [/mm] Du musst halt schauen, in welchem Quadranten sich dein Zeiger herumtreibt und ggf. den Wert [mm] \pi [/mm] bzw. [mm] 2\pi [/mm] addieren.
[mm] (\red{frei\ erfundenes}) [/mm] Beispiel:
<Beispiel Anfang>
[mm] z=8-3\mathsf{i}
[/mm]
[mm] |z|=\wurzel{8^2+3^3}=\wurzel{73}
[/mm]
[mm] arg(\varphi):\quad tan(-\varphi)=\bruch{|-3|}{8}\quad \rightarrow\quad \varphi=-arctan\left(\bruch{3}{8}\right)
[/mm]
[mm] z=\wurzel{73}*\left[\cos(0,359)-\sin(0,359)i\right]
[/mm]
</Beispiel Ende>
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]")  komplexe Zahl
> [mm]=^3\wurzel{|-2+2i|}(cos\bruch{(Arg(-2+2i)+2k\pi}{3} +isin(\bruch{Arg(-2+2i)+2k\pi}{3}))[/mm]
nein, natürlich nicht -- s.o.
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Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:28 Mi 11.11.2009 | | Autor: | peeetaaa |
wie kommste denn da auf die 0,359? da komm ich nie drauf!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:34 Mi 11.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dass das nicht für deine Aufgabe gilt, sondern das Bsp ist dir klar?
Dann hast du vielleicht mit Winkeln im Gradmass gerechnet und der poster - wie üblicher in rad.
Gruss leduart
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