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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:24 Di 02.09.2008 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | 3. Bestimme mit Hilfe geometrischer Ueberlegungen bzw. mit De Moivre alle Lösungen der Gleichungen [mm] a)z^2=1 b)=2^3=1 c)z^4=1 d)z^5=1 e)z^6=1 [/mm] und zeichne die gefundenen Werte je in ein Koordinatensystem ein.
4. Bestimme durch geometrische Ueberlegungen wie in der vorigen Aufgabe alle Lösungen der Gleichungen [mm] a)z^2=c [/mm] b) [mm] z^3=c c)z^4=c [/mm] mit c=4cis(80)
5.Verallgemeinere die in Aufgaben 3 und 4 gefundenen Ergebnisse auf Gleichungen vom Typ [mm] z^n=c [/mm] (n Element von N, c element von C). Was für Unterschiede ergeben sich zur Situation in R?
6. Löse in C folgende Gleichungen und gib die Lösungen in Normalform an:
a) [mm] z^2=2+2\wurzel{3i} b)z^4=-8-8\wurzel{3i} [/mm] c)falsch gestellt [mm] d)z^5=1+3i
[/mm]
7. Interpretiere den Uebergang von einer komplexen Zahl z zu ihrer Konjugierten [mm] \overline{z} [/mm] geometrisch? Wie lautet [mm] \overline{z} [/mm] für [mm] z=r*cis(\phi)? [/mm] |
Da ich noch sehr unsicher bin wäre ich für eine Hilfestellung (aka Lösung oder noch besser der Weg dahin) äusserst dankbar.
3. Rechne ich mit De Moivre aus - bei a) also z= [mm] r^{\frac{1}{n}}*cis(\frac{360*k+x}{k})
[/mm]
4. wie 3
5. leider keine ahnung
6. in polar umwandeln und einsetzen
7. einfach 3.te binomische formel anwenden...
so weit so gut?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:32 Mi 03.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich kann leider mit der Bezeichnung cis() nichts anfangen.
üblicherweise ist die Moivre formel [mm] z=r^{i\phi} \phi [/mm] normalerweise in rad. irgendwie scheint dein cis den Winkel in deg anzugeben?
Bei 3) kommt bei dir n und k vor und x, was ist k, was x?
wenn ich mit cis rechthabe, dann muesste im Nenner n stehen, nicht k.
es fehlt die geometrische Beschreibung in all deinen Aufgaben!
in 3 kommt kein x vor, also sollte es da auch nicht stehen. vielleicht schreibst du wenigstens 1 Beispiel wie du die [mm] z^4=1 [/mm] oder [mm] z^6=1 [/mm] wirklich geloest hast.
zu 5) a)methode angeben analog 3,40 wieviele Ergebnisse hast du fuer [mm] z^4 [/mm] , [mm] z^6 z^3? [/mm] wieviele bekaemst du fuer [mm] x^3=1 [/mm] oder [mm] x^6=1? [/mm] x reell.
zu 7) was da die bin. Formel soll versteh ich nicht. wo findest du zu gegebenem z die konj komplexe? was bedeutet das fuer den winkel?
Also schreib lieber einzelne konkrete Ergebnisse, und eine geometrischen ueberlegungen dazu, als zu allgemeine formeln.
gruss leduart
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3. Bestimme mit Hilfe geometrischer Ueberlegungen wie in der vorigen Aufgabe alle Loesungen der Gleichungen [mm] a)$z^2=1$ b)$z^3=1$ c)$z^4=1$ d)$z^5=1$ e)$z^6=1$ [/mm] und zeichne die gefundenen Werte je in ein Koordinatensystem ein:
a) [mm] $z=\sqrt[2]{1}cis(\frac{360\cdot k}{2})$\\
[/mm]
[mm] $z_1= [/mm] -1; [mm] z_2=1$ \\
[/mm]
b) [mm] $z=\sqrt[3]{1}cis(\frac{360\cdot k}{3})$\\
[/mm]
[mm] $z_1= [/mm] -0.5 - 0.866025i; [mm] z_2=-0.5 [/mm] + 0.866025i; [mm] z_3= 1$\\
[/mm]
[mm] c)$z=\sqrt[4]{1}cis(\frac{360\cdot k}{4})$\\
[/mm]
[mm] $z_1= [/mm] -1; [mm] z_2=-i [/mm] ; [mm] z_3=i ;z_4=1$\\
[/mm]
[mm] d)$z=\sqrt[5]{1}cis(\frac{360\cdot k}{5})$\\
[/mm]
[mm] $z_1=-0.809017 [/mm] - 0.587785i ; [mm] z_2=-0.809017 [/mm] + 0.587785i; [mm] z_3=0.309017- [/mm] 0.951057i ; [mm] z_4=0.309017+ [/mm] 0.951057i; [mm] z_5=1$\\
[/mm]
[mm] e)$z=\sqrt[6]{1}cis(\frac{360\cdot k}{6})$\\
[/mm]
[mm] $z_1= [/mm] -1; [mm] z_2=-0.5 [/mm] - 0.866025i; [mm] z_3=-0.5 [/mm] + 0.866025i; [mm] z_4=0.5- [/mm] 0.866025i; [mm] z_5=0.5+ [/mm] 0.866025i; [mm] z_6=1$
[/mm]
4. Bestimme durch geometrische Ueberlegungen wie in der vorigen Aufgabe alle Loesungen der Gleichungen [mm] a)$z^2=4cis(80)$ b)$z^3=4cis(80)$c)$z^4=4cis(80)$: [/mm]
[mm] a)$z=\sqrt[2]{4}cis(\frac{80^o+360^o\cdot k}{2})$\\
[/mm]
[mm] $z_1=-1.53209 [/mm] - 1.28558i; [mm] z_2=1.53209+ 1.28558i$\\
[/mm]
[mm] b)$z=\sqrt[3]{4}cis(\frac{80^o+360^o\cdot k}{3})$\\
[/mm]
[mm] $z_1=-1.32625 [/mm] + 0.872291i; [mm] z_2=-0.0922992 [/mm] - 1.58472i; [mm] z_3=1.41855+ 0.712424i$\\
[/mm]
[mm] c)$z=\sqrt[4]{4}cis(\frac{80^o+360^o\cdot k}{4})$\\
[/mm]
[mm] $z_1=-1.32893 [/mm] - 0.48369i; [mm] z_2=-0.48369 [/mm] + 1.32893i; [mm] z_3=0.48369- [/mm] 1.32893i; [mm] z_4=1.32893+ [/mm] 0.48369i$
5. Verallgemeinere die in Aufgabe 3 und 4 gefundenen Gleichungen vom Typ [mm] $z^n=c$. [/mm] Was fuer Unterschiede ergeben sich zur Situation in R?
[mm] a)$z=\sqrt[n]{c}\cdot (\frac{\phi+360\cdot k}{n})$\\
[/mm]
b)Es gibt immer genau so viele Loesungen wie die Potenz (also bei [mm] $z^{100}$ [/mm] zbsp. 100 loesungen) und nicht wie bei R nur jene die nicht auf komplexe Zahlen zurueckgreifen muessen.
6. Loese in C folgende Gleichungen und gib die Loesungen in Normalform an: [mm] a)$z^2 [/mm] = [mm] 2+2\sqrt[2]{3i}$ b)$z^4= -8-8\sqrt[2]{3i}$c)$z^6=-$d)$z^5=1+3i$
[/mm]
[mm] a)$z=\sqrt[2]{4}cis(\frac{60+360\cdot k}{2})$\\
[/mm]
[mm] $z_1=-1.73205 [/mm] - i; [mm] z_2=1.73205+ i$\\
[/mm]
[mm] b)$z=\sqrt[4]{16}cis(\frac{240+360\cdot k}{4}$\\
[/mm]
[mm] $z_1=-1.73205+i; z_2=-1- [/mm] 1.73205i; [mm] z_3=1+ [/mm] 1.73205i; [mm] z_4=1.73205-i$\\
[/mm]
[mm] d)$z=\sqrt[5]{\sqrt[2]{10}}cis(\frac{71.565+360\cdot k}{5})$\\
[/mm]
[mm] $z_1=-1.16981 [/mm] + 0.465218i; [mm] z_2=-0.803941 [/mm] - 0.968799i; [mm] z_3=0.0809561+ 1.25632i;z_4=0.672951- 1.06397i;z_5=1.21985+ [/mm] 0.31123i$
Leider habe ich keinen Plan wie ich die Aufgabe mit der konjugiert komplexen angehen soll.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:14 Mo 08.09.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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