komplexer Gedankengang < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Weil [mm] z^2=(-z)^2 [/mm] gilt, gilt 2ln(z)=2ln(-z) also gilt auch ln(z)=ln(-z)
darauf folgt z=e^(ln(z))=e^(ln(-z))=-z.
Warum hinkt dieser Gedankengang? Warum ist [mm] z\not=-z? [/mm] |
Hallo und guten Morgen,
auf den erste Blick auf diese Aufgabe dachte ich mir: ist ja klar!
aber jetzt habe ich länger drüber nachgedacht und es ist mir gar nicht mehr so klar...
z=a+bi
[mm] z^2=a^2-b^2+2abi=(-z)^2
[/mm]
das stimmt schonmal.
aber danach stimmt das ganze nicht mehr meiner Meinung nach.
[mm] ln(z)=\bruch{ln(a^2+b^2)}{2}+(-(tan)^{-1}\bruch{a}{b}+\bruch{sign(b)*\pi}{2})*i
[/mm]
[mm] ln(-z)=\bruch{ln(a^2+b^2)}{2}+(-(tan)^{-1}\bruch{a}{b}-\bruch{sign(b)*\pi}{2})*i
[/mm]
dort ist schonmal das Vorzeichen anders.
Sind meine Annahmen soweit korrekt?
Habt ihr einen Tipp für mich wie ich die Aufgabe am klügsten löse?
Liebe Grüße und vielen lieben Dank :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:24 Mo 16.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Weil [mm]z^2=(-z)^2[/mm] gilt, gilt 2ln(z)=2ln(-z) also gilt auch
> ln(z)=ln(-z)
> darauf folgt z=e^(ln(z))=e^(ln(-z))=-z.
>
> Warum hinkt dieser Gedankengang? Warum ist [mm]z\not=-z?[/mm]
> Hallo und guten Morgen,
>
> auf den erste Blick auf diese Aufgabe dachte ich mir: ist
> ja klar!
> aber jetzt habe ich länger drüber nachgedacht und es ist
> mir gar nicht mehr so klar...
>
> z=a+bi
>
> [mm]z^2=a^2-b^2+2abi=(-z)^2[/mm]
>
> das stimmt schonmal.
Ja.
> aber danach stimmt das ganze nicht mehr meiner Meinung
> nach.
>
> [mm]ln(z)=\bruch{ln(a^2+b^2)}{2}+(-(tan)^{-1}\bruch{a}{b}+\bruch{sign(b)*\pi}{2})*i[/mm]
>
> [mm]ln(-z)=\bruch{ln(a^2+b^2)}{2}+(-(tan)^{-1}\bruch{a}{b}-\bruch{sign(b)*\pi}{2})*i[/mm]
>
>
> dort ist schonmal das Vorzeichen anders.
>
> Sind meine Annahmen soweit korrekt?
Ja.
> Habt ihr einen Tipp für mich wie ich die Aufgabe am
> klügsten löse?
Nun, in der Aufgabe wird verwendet dass [mm] $\ln(z^2) [/mm] = 2 [mm] \ln(z)$ [/mm] ist. Stimmt dies?
LG Felix
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Hallo Felix
$ [mm] \ln(z^2) [/mm] = 2 [mm] \ln(z) [/mm] $
nein das stimmt auch nicht.
[mm] ln(a^2+b^2)+(\bruch{sign(a*b)*\pi}{2}-\tan^{-1}*\bruch{a^2-b^2}{2+a+b})*i=ln(a^2+b^2)-(2*\{tan}^{-1}\bruch{a}{b}-sign{b}*\pi)*i
[/mm]
stimmt doch oder?
vielen lieben Dank und viele Grüße :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:06 Do 19.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> [mm]\ln(z^2) = 2 \ln(z)[/mm]
>
> nein das stimmt auch nicht.
Also fuer manche $z$ schon. Aber nicht fuer alle.
> [mm]ln(a^2+b^2)+(\bruch{sign(a*b)*\pi}{2}-\tan^{-1}*\bruch{a^2-b^2}{2+a+b})*i=ln(a^2+b^2)-(2*\{tan}^{-1}\bruch{a}{b}-sign{b}*\pi)*i[/mm]
>
> stimmt doch oder?
Soll das aequivalent zur Gleichung [mm] $\ln(z^2) [/mm] = 2 [mm] \ln(z)$ [/mm] sein, wenn $z = a + i b$ ist mit $a, b [mm] \in \IR$? [/mm] Dann stimmt es fast: es muss [mm] $\ln(a^2 [/mm] + [mm] b^2) [/mm] + [mm] (\frac{sign(a*b)*\pi}{2} [/mm] - [mm] \arctan \frac{a^2 - b^2}{2 a b}) [/mm] * i = [mm] \ln(a^2 [/mm] + [mm] b^2) [/mm] + (sign(b) * [mm] \pi [/mm] - 2 [mm] \arctan(a/b)) [/mm] * i$ lauten.
LG Felix
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Hallo Felix,
vielen Dank für Deine Hilfe! :)
aber für welche z ist es denn gültig? ich erkenne es nicht...
Danke und liebe Grüße :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 Do 19.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
sicher für reelle positive z.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:12 Do 19.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> sicher für reelle positive z.
Um es genauer zu sehen, schreibe $z = r [mm] e^{i \varphi}$ [/mm] mit $r [mm] \ge [/mm] 0$ und [mm] $\varphi \in [/mm] [0, 2 [mm] \pi)$. [/mm] Damit ist das ganze etwas einfacher zu sehen als mit $z = a + i b$.
LG Felix
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> für welche z ist es denn gültig? ich erkenne es
> nicht...
Hallo Alaizabel,
die Schwierigkeit liegt darin, dass es nicht möglich
ist, in [mm] \IC [/mm] eine eindeutige Logarithmusfunktion zu
etablieren, bei welcher die üblichen Logarithmus-
gesetze uneingeschränkt gültig bleiben.
Der Imaginärteil des Logarithmus einer komplexen
Zahl z ist das Argument [mm] \varphi [/mm] (der Polarwinkel) von z,
welches nicht von vornherein eindeutig bestimmt
ist. Um eine eindeutige Logarithmusfunktion zu
erhalten, muss man deshalb den erlaubten Bereich
für [mm] \varphi [/mm] einschränken, beispielsweise auf das
Intervall [mm] [0;2\,\pi) [/mm] oder auf [mm] (-\pi;+\pi] [/mm] .
Nehmen wir mal die erste Variante, also nur Winkel
mit [mm] 0\le\varphi<2\,\pi [/mm] erlaubt.
Nun ging es um die Frage nach dem Gültigkeitsbereich
der Gleichung [mm] ln(z^2)=2*ln(z) [/mm] . Man kann nun stattdessen
fragen: für welche [mm] z\in\IC [/mm] gilt [mm] arg(z^2)=2*arg(z) [/mm] ?
Nun, es gilt, solange $\ 2*arg(z)$ kleiner als [mm] 2\,\pi [/mm] bleibt,
mit anderen Worten für [mm] 0\le arg(z)<\pi [/mm] oder noch anders
ausgedrückt für alle z mit positivem Imaginärteil sowie
für die positiven reellen z .
(Bei der anderen Logarithmuskonvention mit [mm] \varphi\in(-\pi;+\pi] [/mm]
sieht die Lösung natürlich etwas anders aus)
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:41 Do 19.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Al
> Nun ging es um die Frage nach dem Gültigkeitsbereich
> der Gleichung [mm]ln(z^2)=2*ln(z)[/mm] . Man kann nun stattdessen
> fragen: für welche [mm]z\in\IC[/mm] gilt [mm]arg(z^2)=2*arg(z)[/mm] ?
> Nun, es gilt, solange [mm]\ 2*arg(z)[/mm] kleiner als [mm]2\,\pi[/mm]
> bleibt,
> mit anderen Worten für [mm]0\le arg(z)<\pi[/mm] oder noch anders
> ausgedrückt für alle z mit positivem Imaginärteil
> sowie für die positiven reellen z .
Man kann das auch so zusammenfassen: ganz egal wie man es macht, es gilt niemals gleichzeitig fuer $z$ und $-z$, egal wie $z$ und [mm] $\ln$ [/mm] gewaehlt ist.
LG Felix
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