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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:36 Mo 11.06.2007 | | Autor: | hopsie |
| Aufgabe | Sei [mm] ln_{\alpha} [/mm] der Zweig der Logarithmusfunktion zu [mm] \alpha \in \IR. [/mm] Berechne folgende Werte:
[mm] ln_{\pi}(1+\wurzel{3}i) [/mm] und [mm] ln_{2\pi}(\bruch{\wurzel{3}}{2}-\bruch{i}{2}) [/mm] |
Hallo!
allgemein gilt: [mm] ln_{\alpha}(z)=ln|z|+i(\phi+2\alpha\pi) [/mm] für die geschlitzte Ebene { [mm] re^{i\phi}|r>0, \alpha-\pi<\phi<\alpha+\pi [/mm] }
Ich habe [mm] ln_{\pi}(1+\wurzel{3}i) [/mm] folgendermaßen gerechnet:
|z|=2
[mm] \phi [/mm] = [mm] arctan\bruch{\wurzel{3}}{1} \Rightarrow \phi [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{3}
[/mm]
Dann müsste doch folgen: [mm] ln_{\pi}(1+\wurzel{3}i) [/mm] = [mm] ln2+i(\bruch{\pi}{3}+2\pi^{2})
[/mm]
Ich habe aber im Internet die Lösung [mm] ln2+i\bruch{\pi}{3} [/mm] gefunden. Was hab ich falsch gemacht?
Ein ähnliches Problem bei dem zweiten:
|z|=1
[mm] \phi=arctan(-\bruch{2}{2}\wurzel{3}) \Rightarrow \phi=-\bruch{\pi}{3}
[/mm]
Da [mm] =-\bruch{\pi}{3} [/mm] aber nicht in der geschlitzen Ebene ist, muss ich doch [mm] \phi [/mm] noch umrechnen, damit [mm] \phi\in(\pi,3\pi) [/mm] liegt. [mm] \Rightarrow \phi [/mm] = [mm] \bruch{5}{3}\pi [/mm] .
Stimmt die Umrechnung soweit?
Dann müsste [mm] ln_{2\pi}(\bruch{\wurzel{3}}{2}-\bruch{i}{2}) [/mm] = ln1 + [mm] i(\bruch{5}{3}\pi+2\*2\pi^{2}) [/mm] = [mm] i(\bruch{5}{3}\pi+2\*2\pi^{2}) [/mm] sein.
Allerdings hab ich wieder eine andere Lösung im Internet gefunden: [mm] \bruch{11\*\pi\*i}{6}
[/mm]
Wär toll, wenn mir jemand sagen kann, ob ein Fehler in meiner Berechnung ist.
Danke schonmal im Voraus.
Gruß, hopsie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mi 13.06.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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