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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:04 Do 10.05.2007 | | Autor: | Lara102 |
| Aufgabe | | welches rechtwinklige dreieck mit der hypotenuse 6 cm erzeugt bei rotation um eine kathete den rotationskörper größten volumens. |
hallo :)
ich bräuchte mal wieder etwas hilfe...
der rotationskörper der entsteht ist ein kegel.
--> V= [mm] \bruch{1}{3}\pi [/mm] x²*h
V= [mm] \bruch{1}{3}\pi (\wurzel{36-x²})x
[/mm]
aufgelöst:
V= [mm] 12\pi*x-\bruch{1}{3}\pi*x³
[/mm]
[mm] V'=12\pi-\pi*x²
[/mm]
[mm] V''=-2\pi*x
[/mm]
V' = 0
0 = [mm] 12\pi-\pi*x²
[/mm]
-> [mm] x=\wurzel{12}
[/mm]
Volumen des Körpers: [mm] \approx [/mm] 87,0623
stimmt das denn??
vielen dank für die hilfe:)
ganz liebe grüße
lara
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:24 Do 10.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Lara
1. guck doch, bevor du was abschickst es mit Vorschau an, dein post war unlesbar, bevor ich ihn editiert hab. pix versteht der Übersetzer nicht, du musst pi*x oder pi x schreiben! (natürlich Schrägstrich vor pi)
> welches rechtwinklige dreieck mit der hypotenuse 6 cm
> erzeugt bei rotation um eine kathete den rotationskörper
> größten volumens.
> hallo :)
>
> ich bräuchte mal wieder etwas hilfe...
> der rotationskörper der entsteht ist ein kegel.
> --> V= [mm]\bruch{1}{3}\pi[/mm] x²*h
> V= [mm]\bruch{1}{3}\pi (\wurzel{36-x²})x[/mm]
das ist richtig!
> aufgelöst:
> $V= [mm]12*\pi*x-\bruch{1}{3}*\pi*x³[/mm]
das ist völlig falsch! was ist denn aus der Wurzel geworden?
[mm] \wurzel{a+b} [/mm] ist sicher nicht [mm] \wurzel{a}+\wurzel{b}
[/mm]
also ist der Rest falsch.
Du kannst aber hier nen Trick anwenden: wenn V maximal ist, dann auch [mm] V^2, [/mm] und das ist einfacher zu differenzieren. also bestimm das Maximum von [mm] V^2! [/mm] das aber jetzt richtig ausrechnen!
andere Möglichkeit um die Wurzel zu vermeiden: ersetz [mm] x^2 [/mm] durch [mm] 36-h^2 [/mm] dann ists gleich einfacher. (Nach so Vereinfachungen solltest du immer Ausschau halten! Das beste an Mathe ist unnötige Rechnerei vermeiden!
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:34 Do 10.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lara!
Ich denke mal, Du hast lediglich zu Beginn einen kleinen Vertauschungsfehler begangen. Denn schließlich gilt ja gemäß Nebenbedingung: [mm] $x^2 [/mm] \ = \ [mm] 36-h^2$ [/mm] .
Damit musst Du für die Zielfunktion auch schreiben:
[mm] $V(\red{h}) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{3}*\pi*\left(36-\red{h}^2\right)*\red{h} [/mm] \ = \ [mm] 36\pi*\red{h}-\bruch{1}{3}\pi*\red{h}^3$
[/mm]
Damit stimmt auch Deine Ableitung, Du hast halt lediglich die Höhe $h_$ berechnet ...
Gruß
Loddar
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