komplexes Integral < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:11 Fr 14.08.2009 | | Autor: | johnny11 |
| Aufgabe | Berechnen Sie
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{x^2}{(x^2+a^2)^3} dx} [/mm] für alle a [mm] \in \IR, [/mm] für welche das Integral existiert. |
Hallo,
Ich habe zuerst gedacht, dass ich mit Hilfe des Residuensatzes das Integral bestimmen kann.
Doch die Funktion besitzt ja gar keine Singulären Punkte, oder?
Also kann ich demzufolge auch den Residuensatz nicht benutzen?
Wie kann ich denn sonst vorgehen?
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Hallo johnny11,
> Berechnen Sie
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{x^2}{(x^2+a^2)^3} dx}[/mm] für
> alle a [mm]\in \IR,[/mm] für welche das Integral existiert.
> Hallo,
>
> Ich habe zuerst gedacht, dass ich mit Hilfe des
> Residuensatzes das Integral bestimmen kann.
> Doch die Funktion besitzt ja gar keine Singulären Punkte,
> oder?
[mm] $x^2+a^2=0\gdw x^2=-a^2\gdw x=\pm i\cdot{}a$
[/mm]
Bedenke auch, dass der Integrand eine gerade Funktion ist, also ist [mm] $\int\limits_{0}^{\infty}{\bruch{x^2}{(x^2+a^2)^3} \ dx}=\frac{1}{2}\cdot{}\int\limits_{-\infty}^{\infty}{\bruch{x^2}{(x^2+a^2)^3} \ dx}$
[/mm]
> Also kann ich demzufolge auch den Residuensatz nicht
> benutzen?
Doch
> Wie kann ich denn sonst vorgehen?
Mit besagtem Satz ...
Mache eine Fallunterscheidung: 1) $a>0$ 2) $a<0$
Für $a=0$ ex. das Integral nicht. Wieso?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Fr 14.08.2009 | | Autor: | johnny11 |
Hallo,
Ja genau, dann hat die Funktion also bei [mm] \pm [/mm] ia jeweils eine Singularität.
Doch diese sollte ich nun wohl klassifizieren, oder? Dies bereitet mir aber noch Schwierigkeiten. Oder wie hilft mir die Tatsache weiter, dass es sich hierbei um eine gerade Funktion handelt?
> Für [mm]a=0[/mm] ex. das Integral nicht. Wieso?
Weil danach ein Ausruck der Form [mm] \bruch{1}{0} [/mm] entsteht.
Deshalb ex. das Integral für a = 0 nicht.
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Hallo nochmal,
> Hallo,
>
> Ja genau, dann hat die Funktion also bei [mm]\pm[/mm] ia jeweils
> eine Singularität. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
genau!
>
> Doch diese sollte ich nun wohl klassifizieren, oder? Dies
> bereitet mir aber noch Schwierigkeiten.
Naja, [mm] $z=\pm [/mm] ia$ ist doch ersichtlich ein Pol 3.Ordnung ...
Wie lautet denn die Definition von Polstelle einer komplexen Fkt?
> Oder wie hilft mir
> die Tatsache weiter, dass es sich hierbei um eine gerade
> Funktion handelt?
Nicht, dass ich wüßte
>
> > Für [mm]a=0[/mm] ex. das Integral nicht. Wieso?
>
> Weil danach ein Ausruck der Form [mm]\bruch{1}{0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
entsteht.
> Deshalb ex. das Integral für a = 0 nicht.
Das ist schwammig, was meinst du mit "dann" ...?
Für $a=0$ lautet das Integral $\int\limits_{0}^{\infty}\frac{1}{x^4} \ dx}$
Begründe nochmal genauer, warum das nicht existiert (keinen endlichen Wert hat)
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:45 So 16.08.2009 | | Autor: | johnny11 |
Hallo,
ja genau, mit Hilfe der Definition der Polstellen ist ganz einfach ersichtlich, dass [mm] \pm [/mm] ia Polstellen dritter Ordnung sind.
Es gilt ja:
[mm] \bruch{x^2}{(x^2+a^2)^3} [/mm] = [mm] \bruch{x^2}{((x+ia)*(x-ia))^3}.
[/mm]
Nun muss ich also noch das Residum der beiden singulären Punkte bestimmen.
[mm] res_{ia}f [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] (\bruch{x^2}{(x+ia)^3})^{''}, [/mm] mit x=ia.
Doch wenn ich diese Ableitungen berechne, erhalte ich etwas nicht sehr schönes.
Gäbe es noch einen anderen Weg, oder ist dieser der naheliegendste?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:22 Mo 17.08.2009 | | Autor: | Andrey |
> [mm]res_{ia}f[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm](\bruch{x^2}{(x+ia)^3})^{''},[/mm]
> mit x=ia.
>
> Doch wenn ich diese Ableitungen berechne, erhalte ich etwas
> nicht sehr schönes.
> Gäbe es noch einen anderen Weg, oder ist dieser der
> naheliegendste?
Sicher dass die Formel so ging? Der Witz war doch grad der, dass man die Polstelle erstmal plattmacht, indem man da [mm] $(x-ia)^3$ [/mm] dranmultipliziert. Dann ist der minus-erste Laurentreihenkoeffizient gerade der zweite taylorreihenkoeffizient von [mm] $\frac{x^2}{(x-ia)^3}{(x-ia)^3}$, [/mm] und den zu berechnen dürfte jetzt echt keine große Sache sein. Oder übersehe ich was?
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Hallo Andrey,
> > [mm]res_{ia}f[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm](\bruch{x^2}{(x+ia)^3})^{''},[/mm]
> > mit x=ia.
> >
> > Doch wenn ich diese Ableitungen berechne, erhalte ich etwas
> > nicht sehr schönes.
> > Gäbe es noch einen anderen Weg, oder ist dieser der
> > naheliegendste?
> Sicher dass die Formel so ging?
Ja!
> Der Witz war doch grad
> der, dass man die Polstelle erstmal plattmacht, indem man
> da [mm](x-ia)^3[/mm] dranmultipliziert.
Hat er ja gemacht, es interessiert ja nur das Residuum an den Stellen $x$ mit $Im(x)>0$.
Die (also die Polstelle [mm] $(x-ai)^3$) [/mm] hat johnny11 ja weggeballert.
(Hier im Falle $a>0$)
Die Formel für einen k-fachen Pol ist [mm] $res_w(f)=\frac{1}{(k-1)!}\cdot{}\lim\limits_{x\to w}\frac{\partial^{k-1}}{\partial x^{k-1}}\left[(x-w)^k\cdot{}f(x)\right]$
[/mm]
> Dann ist der minus-erste
> Laurentreihenkoeffizient gerade der zweite
> taylorreihenkoeffizient von [mm]\frac{x^2}{(x-ia)^3}{(x-ia)^3}[/mm],
> und den zu berechnen dürfte jetzt echt keine große Sache
> sein. Oder übersehe ich was?
>
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:23 Mo 17.08.2009 | | Autor: | Andrey |
> Hat er ja gemacht, es interessiert ja nur das Residuum an
> den Stellen [mm]z[/mm] mit [mm]Im(z)>0[/mm].
>
> Die (also die Polstelle [mm](x-ai)^3[/mm]) hat johnny11 ja
> weggeballert.
ja, sorry, hab irgendwas falsches gelesen...
> die Formel für einen k-fachen Pol ist $ [mm] res_w(f)=\frac{1}{(k-1)!}\cdot{}\lim\limits_{x\to w}\frac{\partial^{k-1}}{\partial x^{k-1}}\left[(x-w)^k\cdot{}f(x)\right] [/mm] $
die meinte ich, alles ok, ich hab leider müll geschrieben, entschuldigung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 Sa 22.08.2009 | | Autor: | johnny11 |
Hallo,
Habe gerade was festgestellt:
Das Integral bei dieser Aufabe läuft ja von 0 bis unendlich.
Es handelt sich hierbei ja nicht um ein geschlossenes Wegintegral.
Weshalb darf denn der Residuensatz hier überhaupt angewendet werden?
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Hallo nochmal,
> Hallo,
>
> Habe gerade was festgestellt:
> Das Integral bei dieser Aufabe läuft ja von 0 bis
> unendlich.
> Es handelt sich hierbei ja nicht um ein geschlossenes
> Wegintegral.
> Weshalb darf denn der Residuensatz hier überhaupt
> angewendet werden?
Das steht in meiner allerersten Antwort ...
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:49 Sa 22.08.2009 | | Autor: | johnny11 |
Aja genau, vielen Dank. 
Liebe Grüsse
johnny11
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Hallo nochmal,
> Hallo,
>
> ja genau, mit Hilfe der Definition der Polstellen ist ganz
> einfach ersichtlich, dass [mm]\pm[/mm] ia Polstellen dritter Ordnung
> sind.
>
> Es gilt ja:
>
> [mm]\bruch{x^2}{(x^2+a^2)^3}[/mm] = [mm]\bruch{x^2}{((x+ia)*(x-ia))^3}.[/mm]
>
> Nun muss ich also noch das Residum der beiden singulären
> Punkte bestimmen.
>
> [mm]res_{ia}f[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm](\bruch{x^2}{(x+ia)^3})^{''},[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Ja, sehr schön, das ist für den Fall $a>0$ alles bestens bis hierher
> mit x=ia.
Genau!
>
> Doch wenn ich diese Ableitungen berechne, erhalte ich etwas
> nicht sehr schönes.
Naja, mit 2maliger Anwendung der Quotientenregel ist es halb so wild, v.a. vereinfacht es sich immens, wenn du den ganzen Klumpatsch dann an der Stelle $x=ia$ auswertest ...
> Gäbe es noch einen anderen Weg, oder ist dieser der
> naheliegendste?
Jo, das ist der übliche Weg für einen n-fachen Pol
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Mo 17.08.2009 | | Autor: | johnny11 |
Hallo,
Aja genau, ich habe mich verrechnet, darum gabs was sehr unschönes...
Nun habe ich noch eine weiteres Problem zu einem Integral:
Aufgabe:
Es sei n [mm] \in \IN. [/mm] Berechnen Sie das Integral [mm] \integral_{0}^{2*\pi}{cos(t)^{2n}dt}
[/mm]
mit Hilfe des Residuensatzes.
Ich möchte also das Residum von [mm] cos(t)^{2n} [/mm] bestimmen.
Doch dieses Funktion ist doch holomorph und so ist ihr Residum doch überall 0? Also würde das Integral auch überall verschwinden. Doch das kann nicht sein.
Wo mache ich einen Denkfehler?
Und die Funktion [mm] cos(t)^{2n} [/mm] besitzt doch auch keine singulären Punkte?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 Mo 17.08.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Nun habe ich noch eine weiteres Problem zu einem Integral:
Bitte mach für eine neue Frage immer einen neuen Thread auf, siehe Forenregeln.
>
> Aufgabe:
> Es sei n [mm]\in \IN.[/mm] Berechnen Sie das Integral
> [mm]\integral_{0}^{2*\pi}{cos(t)^{2n}dt}[/mm]
> mit Hilfe des Residuensatzes.
>
>
> Ich möchte also das Residum von [mm]cos(t)^{2n}[/mm] bestimmen.
Warum? Erst einmal brauchst du ein Kurvenintegral entlang eines geschlossenen Weges. Wo ist hier ein Kurvenintegral?
Tipp: [mm] $\cos [/mm] x = [mm] \bruch{1}{2} \left(e^{+ix} + e^{-ix}\right) [/mm] $.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:31 Di 18.08.2009 | | Autor: | johnny11 |
Hallo,
> Warum? Erst einmal brauchst du ein Kurvenintegral entlang
> eines geschlossenen Weges. Wo ist hier ein Kurvenintegral?
>
> Tipp: [mm]\cos x = \bruch{1}{2} \left(e^{+ix} + e^{-ix}\right) [/mm].
Also wenn ich richtig verstanden habe, liegt das Problem darin, dass ein Integral der Form [mm] \integral_{0}^{2\pi} [/mm] kein Kurvenintegral ist, sondern einfach nur ein Integral über das Intervall [mm] [0,2\pi]. [/mm] Stimmt das so?
Dann könnte ich aber doch einfach schreiben
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{(cos(t))^{2n}dt} [/mm] = [mm] \integral_{\delta E}{(cos(t))^{2n}dt}.
[/mm]
Auf diese Weise wird dann über den Einheitskreis integriert, und dies ist ja dann ein Kurvenintegral. Oder darf ich nicht so vorgehen?
Muss ich dann noch cos(t) durch [mm] \bruch{1}{2} \left(e^{+it} + e^{-it}\right) [/mm] ersetzen? Wenn ja, weshalb?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:53 Di 18.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Warum? Erst einmal brauchst du ein Kurvenintegral entlang
> > eines geschlossenen Weges. Wo ist hier ein Kurvenintegral?
> >
> > Tipp: [mm]\cos x = \bruch{1}{2} \left(e^{+ix} + e^{-ix}\right) [/mm].
>
>
> Also wenn ich richtig verstanden habe, liegt das Problem
> darin, dass ein Integral der Form [mm]\integral_{0}^{2\pi}[/mm] kein
> Kurvenintegral ist, sondern einfach nur ein Integral über
> das Intervall [mm][0,2\pi].[/mm] Stimmt das so?
Ja, das ist ein Teil des Problems.
> Dann könnte ich aber doch einfach schreiben
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{(cos(t))^{2n}dt}[/mm] = [mm]\integral_{\delta E}{(cos(t))^{2n}dt}.[/mm]
Warum solltest du das schreiben koennen? Warum sollten die beiden Seiten irgendwie gleich sein?
> Auf diese Weise wird dann über den Einheitskreis
> integriert, und dies ist ja dann ein Kurvenintegral. Oder
> darf ich nicht so vorgehen?
Das ist dann ein Kurvenintegral, welches den Wert 0 hat (da [mm] $\cos(t)^{2 n}$ [/mm] holomorph ist). Bringen tut dir das allerdings... gar nichts.
> Muss ich dann noch cos(t) durch [mm]\bruch{1}{2} \left(e^{+it} + e^{-it}\right)[/mm]
> ersetzen? Wenn ja, weshalb?
Nun, du willst ein Kurvenintegral haben. Also musst du irgendwo eins herzaubern. Wenn [mm] $\gamma [/mm] : [0, [mm] 2\pi] \to \IC$ [/mm] eine glatte Kurve ist, dann ist ja [mm] $\int_\gamma [/mm] f(z) dz = [mm] \int_0^{2\pi} f(\gamma(t)) \gamma'(t) [/mm] dt$.
Kannst du jetzt $f$ und [mm] $\gamma$ [/mm] geschickt waehlen, dass du [mm] $f(\gamma(t)) \gamma'(t) [/mm] = [mm] (cos(t))^{2n}$ [/mm] ist? (Oder zumindest [mm] $(cos(t))^{2n} [/mm] = [mm] \Re f(\gamma(t)) \gamma'(t)$?)
[/mm]
Wenn du [mm] $\cos(t) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}(e^{i t} [/mm] + [mm] e^{-i t})$ [/mm] schreibst, koenntest du z.B. [mm] $\gamma(t) [/mm] = [mm] e^{i t}$ [/mm] nehmen. Wie sieht dann $f$ aus?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:32 Di 18.08.2009 | | Autor: | johnny11 |
Hallo,
> > [mm]\integral_{0}^{2\pi}{(cos(t))^{2n}dt}[/mm] = [mm]\integral_{\delta E}{(cos(t))^{2n}dt}.[/mm]
>
> Warum solltest du das schreiben koennen? Warum sollten die
> beiden Seiten irgendwie gleich sein?
Hier wird doch bei beiden Integralen über dein Einheitskreis integriert.
Der Punkt 0 und der Punkt [mm] 2\pi [/mm] sind dann jeweils gleich.
Stimmt dies nicht?
> Das ist dann ein Kurvenintegral, welches den Wert 0 hat (da
> [mm]\cos(t)^{2 n}[/mm] holomorph ist). Bringen tut dir das
> allerdings... gar nichts.
Da [mm] cos(t)^{2n} [/mm] holmorph ist, ist das Residum 0 und mit den Resiudensatz folgt dann, dass das Integral 0 ist. Kann ich so argumentieren?
> Nun, du willst ein Kurvenintegral haben. Also musst du
> irgendwo eins herzaubern. Wenn [mm]\gamma : [0, 2\pi] \to \IC[/mm]
> eine glatte Kurve ist, dann ist ja [mm]\int_\gamma f(z) dz = \int_0^{2\pi} f(\gamma(t)) \gamma'(t) dt[/mm].
>
> Kannst du jetzt [mm]f[/mm] und [mm]\gamma[/mm] geschickt waehlen, dass du
> [mm]f(\gamma(t)) \gamma'(t) = (cos(t))^{2n}[/mm] ist? (Oder
> zumindest [mm](cos(t))^{2n} = \Re f(\gamma(t)) \gamma'(t)[/mm]?)
>
> Wenn du [mm]\cos(t) = \frac{1}{2}(e^{i t} + e^{-i t})[/mm]
> schreibst, koenntest du z.B. [mm]\gamma(t) = e^{i t}[/mm] nehmen.
> Wie sieht dann [mm]f[/mm] aus?
Also mein f könnte so aussehen:
[mm] f(\gamma) [/mm] = [mm] (\bruch{1}{2}*(\gamma [/mm] + [mm] \bruch{1}{\gamma}))^{2n}*\bruch{1}{\gamma'}.
[/mm]
Aber mit dem [mm] \bruch{1}{\gamma'} [/mm] bin ich noch nicht ganz zufrieden.
Das stört ja dann ein wenig.
Bin ich aber tendenziell auf den richtigen Weg?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:03 Di 18.08.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > > [mm]\integral_{0}^{2\pi}{(cos(t))^{2n}dt}[/mm] = [mm]\integral_{\delta E}{(cos(t))^{2n}dt}.[/mm]
>
> >
> > Warum solltest du das schreiben koennen? Warum sollten die
> > beiden Seiten irgendwie gleich sein?
>
>
> Hier wird doch bei beiden Integralen über dein
> Einheitskreis integriert.
> Der Punkt 0 und der Punkt [mm]2\pi[/mm] sind dann jeweils gleich.
> Stimmt dies nicht?
Nein. Auf der linken Seite steht ein gewöhnliches Integral über das reelle Intervall [mm] $[0,2\pi]$, [/mm] rechts ein komplexes Kurvenintegral über den Rand des Einheitskreises.
Anfangs- und Endpunkt des reellen Intervalls [mm] $[0,2\pi]$ [/mm] sind sicher nicht gleich.
> > Das ist dann ein Kurvenintegral, welches den Wert 0 hat (da
> > [mm]\cos(t)^{2 n}[/mm] holomorph ist). Bringen tut dir das
> > allerdings... gar nichts.
>
>
> Da [mm]cos(t)^{2n}[/mm] holmorph ist, ist das Residum 0 und mit den
> Resiudensatz folgt dann, dass das Integral 0 ist. Kann ich
> so argumentieren?
Für das Kurvenintegral, ja. Aber da das Kurvenintegral nichts mit dem reellen Integral zu tun hat, bringt es dir gar nichts.
>
>
>
> > Nun, du willst ein Kurvenintegral haben. Also musst du
> > irgendwo eins herzaubern. Wenn [mm]\gamma : [0, 2\pi] \to \IC[/mm]
> > eine glatte Kurve ist, dann ist ja [mm]\int_\gamma f(z) dz = \int_0^{2\pi} f(\gamma(t)) \gamma'(t) dt[/mm].
>
> >
> > Kannst du jetzt [mm]f[/mm] und [mm]\gamma[/mm] geschickt waehlen, dass du
> > [mm]f(\gamma(t)) \gamma'(t) = (cos(t))^{2n}[/mm] ist? (Oder
> > zumindest [mm](cos(t))^{2n} = \Re f(\gamma(t)) \gamma'(t)[/mm]?)
>
> >
> > Wenn du [mm]\cos(t) = \frac{1}{2}(e^{i t} + e^{-i t})[/mm]
> > schreibst, koenntest du z.B. [mm]\gamma(t) = e^{i t}[/mm] nehmen.
> > Wie sieht dann [mm]f[/mm] aus?
>
> Also mein f könnte so aussehen:
>
> [mm]f(\gamma) = (\bruch{1}{2}*(\gamma + \bruch{1}{\gamma}))^{2n}*\bruch{1}{\gamma'}.[/mm]
>
> Aber mit dem [mm]\bruch{1}{\gamma'}[/mm] bin ich noch nicht ganz
> zufrieden.
> Das stört ja dann ein wenig.
Hier hast du den speziellen Weg [mm]\gamma(t) = e^{i t}[/mm]. Was ist denn die komplexe Ableitung der Funktion [mm] $e^{-i t}$ [/mm] ?
> Bin ich aber tendenziell auf den richtigen Weg?
Ja.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 Di 18.08.2009 | | Autor: | johnny11 |
> Hier hast du den speziellen Weg [mm]\gamma(t) = e^{i t}[/mm]. Was
> ist denn die komplexe Ableitung der Funktion [mm]e^{-i t}[/mm] ?
Also die komplexe Ableitung von [mm] e^{-it} [/mm] ist doch
[mm] e^{i*(\bruch{3}{2}*\pi-t)}.
[/mm]
Aber was hilft mir dies denn weiter?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 Di 18.08.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Hier hast du den speziellen Weg [mm]\gamma(t) = e^{i t}[/mm]. Was
> > ist denn die komplexe Ableitung der Funktion [mm]e^{-i t}[/mm] ?
>
Sorry, ich meinte die komplexe Ableitung von [mm]e^{i t}[/mm]
> Also die komplexe Ableitung von [mm]e^{-it}[/mm] ist doch
>
> [mm]e^{i*(\bruch{3}{2}*\pi-t)}.[/mm]
Richtig, aber unnötig kompliziert, denn das ist gleich $-i [mm] e^{-it}$. [/mm] Ebenso ist die Ableitung von [mm] $e^{it}$ [/mm] gleich [mm] $ie^{it}$. [/mm] Jetzt musst du nur noch einsetzen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Di 18.08.2009 | | Autor: | johnny11 |
> Ebenso ist die Ableitung von [mm]e^{it}[/mm] gleich [mm]ie^{it}[/mm]. Jetzt
> musst du nur noch einsetzen.
Also wenn ich nun einsetze, erhalte ich folgendes:
[mm] \integral_{e^{it}}{(\bruch{1}{2}*(z+\bruch{1}{z}))^{2n}*\bruch{1}{e^{it}*i}*dz}.
[/mm]
Nun müsste ich also diese Integral mit Hilfe des Resiuensatzes bestimmen.
Doch ich habe ja noch ein t in meiner Funktion. Wie muss ich mit diesem umgehen?
Der singuläre Punkt ist ja 0. Um was für eine Singularität handelt es sich denn hierbei?
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Hallo johnny11,
> > Ebenso ist die Ableitung von [mm]e^{it}[/mm] gleich [mm]ie^{it}[/mm]. Jetzt
> > musst du nur noch einsetzen.
>
> Also wenn ich nun einsetze, erhalte ich folgendes:
>
>
> [mm]\integral_{e^{it}}{(\bruch{1}{2}*(z+\bruch{1}{z}))^{2n}*\bruch{1}{e^{it}*i}*dz}.[/mm]
>
> Nun müsste ich also diese Integral mit Hilfe des
> Resiuensatzes bestimmen.
> Doch ich habe ja noch ein t in meiner Funktion. Wie muss
> ich mit diesem umgehen?
Ersetze [mm]e^{it}[/mm] durch z.
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> Der singuläre Punkt ist ja 0. Um was für eine
> Singularität handelt es sich denn hierbei?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Di 18.08.2009 | | Autor: | johnny11 |
> Ersetze [mm]e^{it}[/mm] durch z.
ok, dann erhalte ich also [mm] \integral_{e^{it}}{(\bruch{1}{2}*(z+\bruch{1}{z}))^{2n}*\bruch{1}{iz}dz}.
[/mm]
Dieses Integral löse ich doch nun am besten mit dem Residuensatz, oder?
Der singuläre Punkt ist 0. Doch wie kann ich diesen klassifizieren? Oder ist das hier nicht nötig?
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Hallo johnny11,
> > Ersetze [mm]e^{it}[/mm] durch z.
>
> ok, dann erhalte ich also
> [mm]\integral_{e^{it}}{(\bruch{1}{2}*(z+\bruch{1}{z}))^{2n}*\bruch{1}{iz}dz}.[/mm]
>
> Dieses Integral löse ich doch nun am besten mit dem
> Residuensatz, oder?
Ja.
> Der singuläre Punkt ist 0. Doch wie kann ich diesen
> klassifizieren? Oder ist das hier nicht nötig?
Nun, das ist ein Pol der Ordnung 2n+1.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Di 18.08.2009 | | Autor: | johnny11 |
> Nun, das ist ein Pol der Ordnung 2n+1.
ok. aber wie kann ich dies so auf die Schnelle sehen?
Blicke gerade nicht so durch...
Laurententwicklung? Sehe ich aber auch gerade nicht, wie ich die Funktion entwicklen könnte.
Oder wie kann ich sonst die Singularität klassifizieren?
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Hallo johnny11,
>
> > Nun, das ist ein Pol der Ordnung 2n+1.
>
> ok. aber wie kann ich dies so auf die Schnelle sehen?
Die Ordnung des Pols ist hier
die Vielfachheit der Nullstelle im Zähler:
[mm]\left( \ z + \bruch{1}{z} \ \right)^{2n}*\bruch{1}{iz}=\left( \ \bruch {z^{2} + 1}{z} \ \right)^{2n}*\bruch{1}{iz}=\bruch{\left(z^{2}+1\right)^{2n}}{i*z^{2n+1}[/mm]
> Blicke gerade nicht so durch...
> Laurententwicklung? Sehe ich aber auch gerade nicht, wie
> ich die Funktion entwicklen könnte.
> Oder wie kann ich sonst die Singularität klassifizieren?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Di 18.08.2009 | | Autor: | johnny11 |
> Die Ordnung des Pols ist hier
> die Vielfachheit der Nullstelle im Zähler:
> [mm]\left( \ z + \bruch{1}{z} \ \right)^{2n}*\bruch{1}{iz}=\left( \ \bruch {z^{2} + 1}{z} \ \right)^{2n}*\bruch{1}{iz}=\bruch{\left(z^{2}+1\right)^{2n}}{i*z^{2n+1}[/mm]
Also meinst du die Vielfachheit der Nullstelle im NENNER, oder?
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Hallo johnny11,
> > Die Ordnung des Pols ist hier
> > die Vielfachheit der Nullstelle im Zähler:
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> > [mm]\left( \ z + \bruch{1}{z} \ \right)^{2n}*\bruch{1}{iz}=\left( \ \bruch {z^{2} + 1}{z} \ \right)^{2n}*\bruch{1}{iz}=\bruch{\left(z^{2}+1\right)^{2n}}{i*z^{2n+1}[/mm]
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> Also meinst du die Vielfachheit der Nullstelle im NENNER,
> oder?
Ja sicher, das war ein kleiner Verschreiber ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:25 Di 18.08.2009 | | Autor: | johnny11 |
gut, dann wären wir also schlussendlich beim Ziel angelangt.
[mm] res_0(f) [/mm] = [mm] \bruch{1}{(2n)!}*((\bruch{1}{2})^{2n}*\bruch{(z^2+1)^{2n}}{i})^{ \ ( 2n+1 \ )} [/mm] mit z=0.
Das Integral [mm] \integral_{0}^{2\pi}{cos(t)^{2n}} [/mm] ist also gleich
[mm] 2\pi*i* \bruch{1}{(2n)!}*((\bruch{1}{2})^{2n}*\bruch{(z^2+1)^{2n}}{i})^{ \ (2n+1\ )} [/mm] mit z=0.
Könnte das stimmen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:59 Mi 19.08.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> gut, dann wären wir also schlussendlich beim Ziel
> angelangt.
>
> [mm]res_0(f)[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{(2n)!}*((\bruch{1}{2})^{2n}*\bruch{(z^2+1)^{2n}}{i})^{ \ ( 2n+1 \ )}[/mm]
> mit z=0.
>
> Das Integral [mm]\integral_{0}^{2\pi}{cos(t)^{2n}}[/mm] ist also
> gleich
>
> [mm]2\pi*i* \bruch{1}{(2n)!}*((\bruch{1}{2})^{2n}*\bruch{(z^2+1)^{2n}}{i})^{ \ (2n+1\ )}[/mm]
> mit z=0.
>
> Könnte das stimmen?
Meinst du hier die $(2n+1)$-te Ableitung? Bei einem Pol derOrdnung $2n+1$ musst du nur 2n-mal ableiten. Aber dann musst du die 2n Ableitungen noch ausführen, um das Ergebnis zu bekommen. Sehr mühsam.
Warum benutzt du nicht die binomische Formel um den Zähler auszumultiplizieren? Der Zähler ist ein Polynom, der Nenner ist [mm] $z^{2n+1}$, [/mm] da kannst du das Residuum doch unmittelbar ablesen.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:09 Di 18.08.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
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> > Nun, das ist ein Pol der Ordnung 2n+1.
>
> ok. aber wie kann ich dies so auf die Schnelle sehen?
> Blicke gerade nicht so durch...
> Laurententwicklung? Sehe ich aber auch gerade nicht, wie
> ich die Funktion entwicklen könnte.
Mit der binomischen Formel:
[mm] \\left( z+\bruch{1}{z} \right)^{2n} = \summe_{k=0}^{2n} \vektor{2n\\k} z^k z^{-(2n-k)} = \summe_{k=0}^{2n} \vektor{2n\\k}z^{2k-2n} [/mm]
Für das Residuum brauchst du nur den Term mit [mm] $z^0$, [/mm] also [mm]n=k[/mm]; der zugehörige Koeffizient ist
[mm] \vektor{2n\\n} = \bruch{(2n)!}{n!^2} [/mm]
> Oder wie kann ich sonst die Singularität klassifizieren?
Mit der obigen Summe siehst du sofort, dass die kleinste Potenz unter dem Integral (nämlich für $k=0$) [mm] $z^{-2n-1}$ [/mm] ist, es ist also ein Pol der Ordnung 2n+1.
Viele Grüße
Rainer
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