komplizierter Konvergenzbeweis < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] a_{n} [/mm] eine monoton fallende Nullfolge, zeigen sie, dass [mm] \sum_{n\ge0}^{\infty} a_{n}*z^{n} [/mm] für jedes z mit |z|=1 und [mm] z\not= [/mm] 1 konvergiert
hinweis:abschätzen mit Hilfe von
[mm] (1-z)*\sum_{n=0}^{N} a_{n}*z^{n} [/mm] |
Hey 
ich hänge jetzt schon über Stunden an einem Beweis den wir in der Vorlesung grob vorgezeichnet haben (Aufgabe siehe oben)
1. frage: Wie kommt man darauf ausgerechnet diese Form zum abschätzen zu verwenden? bzw. (1-z) vorzustellen?
Ansatz:
ausmultiplizieren:
[mm] (1-z)*\sum_{n=0}^{N}a_n*z^{n}=\sum_{n=0}^{N}(a_n*z^n)-\sum_{n=0}^{N}(a_n*z^{n+1})
[/mm]
wie kann man hier weiterausmultiplizieren bzw. die Summen zusammenfassen? hier stehe ich leider völlig am Schlauch..
und wie kann ich dann weiter fortfahren?
LG
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:58 Fr 10.01.2014 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei [mm]a_{n}[/mm] eine monoton fallende Nullfolge, zeigen sie, dass
> [mm]\sum_{n\ge0}^{\infty} a_{n}*z^{n}[/mm] für jedes z mit |z|=1
> und [mm]z\not=[/mm] 1 konvergiert
> hinweis:abschätzen mit Hilfe von
> [mm](1-z)*\sum_{n=0}^{N} a_{n}*z^{n}[/mm]
>
> Hey
> ich hänge jetzt schon über Stunden an einem Beweis den
> wir in der Vorlesung grob vorgezeichnet haben (Aufgabe
> siehe oben)
> 1. frage: Wie kommt man darauf ausgerechnet diese Form zum
> abschätzen zu verwenden? bzw. (1-z) vorzustellen?
Das erfordert einige Übung. Ohne den Hinweis wäre ich auch nicht draufgekommen.
> Ansatz:
> ausmultiplizieren:
>
> [mm](1-z)*\sum_{n=0}^{N}a_n*z^{n}=\sum_{n=0}^{N}(a_n*z^n)-\sum_{n=0}^{N}(a_n*z^{n+1})[/mm]
> wie kann man hier weiterausmultiplizieren bzw. die Summen
> zusammenfassen? hier stehe ich leider völlig am
> Schlauch..
Tipp: [mm] $\summe_{n=0}^{N}a_n*z^{n+1} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{N+1}a_{n-1}*z^{n}$ [/mm] verwenden und wieder zusammenfassen.
Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
okay danke
wie kann ich an dieser Stelle also dann 2 Summen subtrahieren die unterschiedliche Grenzen haben?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Fr 10.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib von der ersten Summe das erst, von der zwiten das letzte einzeln, dann hast du dieselben Grenzen.
gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hey: meinst du:
[mm] a_{n} [/mm] * [mm] \sum_{n=1}^{N}a_{n}*z^{n} -a_{n}* z^{N+1} [/mm] * [mm] \sum_{n=1}^{N}a_{n}*z^{n+1}
[/mm]
stimmt das?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 Sa 11.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein!und das kannst du selbst sehen. [mm] a_n [/mm] kann man nicht ausklammern!
schreib mal Anfang und Ende der Summen mit Pünktchen und dann fass zusammen, das hier ist nur grausig und rumraten
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
okay danke.ich habe ein bisschen drüber nachgedacht und habe die beiden Summen zusammengefasst zu:
[mm] \sum_{n=0}^{N}z^{n}*a_{n}-\sum_{n=1}^{N+1}a_{n-1}*z^{n} [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^{N}(z^{n}-z^{n+1})*a_{n} [/mm]
stimmt das?
(ich komme auf dieses Ergebnis wegen:
[mm] \sum_{n=0}^{N}z^{n}*a_{n}= a_0*z^0+...+a_{N}*z^{N}
[/mm]
und
[mm] \sum_{n=1}^{N+1}a_{n-1}*z^{n}= a_0*z^1+...+a_{N}*z^{N+1}
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo rosapanther,
> okay danke.ich habe ein bisschen drüber nachgedacht und
> habe die beiden Summen zusammengefasst zu:
> [mm]\sum_{n=0}^{N}z^{n}*a_{n}-\sum_{n=1}^{N+1}a_{n-1}*z^{n}[/mm] =
> [mm]\sum_{n=0}^{N}(z^{n}-z^{n+1})*a_{n}[/mm]
> stimmt das?
Ja.
> (ich komme auf dieses Ergebnis wegen:
> [mm]\sum_{n=0}^{N}z^{n}*a_{n}= a_0*z^0+...+a_{N}*z^{N}[/mm]
> und
> [mm]\sum_{n=1}^{N+1}a_{n-1}*z^{n}= a_0*z^1+...+a_{N}*z^{N+1}[/mm]
Eine einfache Indexverschiebung in der zweiten Summe hätte es auch getan.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
oh super! wie kann ich nun damit zeigen das die Potenzreihe für |z|=1 konvergiert und für z ungleich 1 nicht?
kann man diesen Ansatz verwenden?:
sei [mm] \epsilon [/mm] > 0 vorgegeben , dann gibt es ein N, sodass für alle [mm] n\ge [/mm] N gilt...
[mm] |\sum_{n=0}^{N}(z^{n}-z^{n+1})*a_{n} -0|\le |\sum_{n=0}^{N}(z^{n}-z^{n+1})|*|a_{n}|.....\le...\le....\le \epsilon
[/mm]
wie kann man hier weiterumformen?
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:05 Sa 11.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
wieso soll die Reihe denn gegen 0 konverfieren?
Wann konvergiert denn eine Reihe?
Immer erst die Def. aufschreiben, bzw die Kriterien,für die Konvergenz einer Reihe!
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
naja, dass die Reihe eine monotone Nullfolge ist, ist angegeben. und eine Reihe konvergiert, wenn es ein [mm] n\ge [/mm] N gibt mit ....<N
da wo die Punkte sind muss noch eine Ungleichung hin die Epsilon enthält. Aber wie komme ich jetzt mit meinem Ansatz weiter? Bzw. ist der überhaupt sinnvoll
LG
|
|
|
| |
|
Hallo,
> naja, dass die Reihe eine monotone Nullfolge ist, ist
> angegeben.
Aha?! Dann hast du eine andere Aufgabenstellung vorliegen als diejenige, die du hier eingetippt hast.
Oben steht die Reihe [mm]\sum\limits_{n\ge 0}a_n\cdot{}z^n[/mm] und die Voraussetzung, dass die Folge [mm]\left(a_n\right)_{n\in\IN}[/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist ...
> und eine Reihe konvergiert, wenn es ein [mm]n\ge[/mm] N
> gibt mit ....<N
??
Aha, kannst du mal die Definition komplett und ohne Auslassung und eigene Deutungen einfach nur hinschreiben?!
> da wo die Punkte sind muss noch eine Ungleichung hin die
> Epsilon enthält. Aber wie komme ich jetzt mit meinem
> Ansatz weiter? Bzw. ist der überhaupt sinnvoll
>
> LG
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
