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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:10 Fr 29.04.2011 | | Autor: | wergor |
| Aufgabe | ist die abbildung [mm] \mu [/mm] : [mm] \IC^+ \mapsto \IC [/mm] mit z [mm] \mapsto z^2 [/mm] konform, wobei [mm] \IC^+ [/mm] := { z [mm] \in \IC [/mm] : Re(z) > 0 }?
zusatz: ändere [mm] \IC^+ [/mm] und [mm] \IC [/mm] sodass [mm] \mu [/mm] konform wird. |
hallo,
ich bin nicht sicher ob ich dieses beispiel richtig gelöst habe.
damit eine abbildung konform ist muss sie holomorph sein und die ableitung muss (in meinem fall) auf ganz [mm] \IC^+ \not=0 [/mm] sein.
um herauszufinden ob sie holomorph ist, habe ich die abbildung mit den cauchy - riemannschen dlg überprüft, also
z = x + iy, [mm] z^2 [/mm] = [mm] x^2 -y^2 [/mm] +2ixy
u = [mm] x^2 [/mm] - [mm] y^2, [/mm] v = 2xy
[mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{dv}{dy} [/mm] und [mm] \bruch{dv}{dx} [/mm] = [mm] -\bruch{du}{dy} [/mm] daher ist die abbildung holomorph. die ableitung wird auch nirgendwo 0 weil Re(z) > 0 ist, d.h. die abbildung ist konform.
stimmt das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:11 Sa 30.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:28 Sa 30.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> ist die abbildung [mm]\mu[/mm] : [mm]\IC^+ \mapsto \IC[/mm] mit z [mm]\mapsto z^2[/mm]
> konform, wobei [mm]\IC^+[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= { z [mm]\in \IC[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
: Re(z) > 0 }?
> zusatz: ändere [mm]\IC^+[/mm] und [mm]\IC[/mm] sodass [mm]\mu[/mm] konform wird.
> hallo,
>
> ich bin nicht sicher ob ich dieses beispiel richtig gelöst
> habe.
> damit eine abbildung konform ist muss sie holomorph sein
> und die ableitung muss (in meinem fall) auf ganz [mm]\IC^+ \not=0[/mm]
> sein.
> um herauszufinden ob sie holomorph ist, habe ich die
> abbildung mit den cauchy - riemannschen dlg überprüft,
> also
> z = x + iy, [mm]z^2[/mm] = [mm]x^2 -y^2[/mm] +2ixy
> u = [mm]x^2[/mm] - [mm]y^2,[/mm] v = 2xy
> [mm]\bruch{du}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{dv}{dy}[/mm] und [mm]\bruch{dv}{dx}[/mm] =
> [mm]-\bruch{du}{dy}[/mm] daher ist die abbildung holomorph. die
> ableitung wird auch nirgendwo 0 weil Re(z) > 0 ist, d.h.
> die abbildung ist konform.
> stimmt das?
Da fehlt noch was ! Es ist noch die Frage, ob
[mm]\mu[/mm] : [mm]\IC^+ \mapsto \IC[/mm]
bijektiv ist. Was glaubst Du denn, wofür der "Zusatz" gut ist ?
[mm] \mu [/mm] ist nicht surjektiv, denn es ist z.B. [mm] \mu(z) \ne [/mm] -1 für alle z [mm] \in \IC^+
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 So 01.05.2011 | | Autor: | wergor |
also muss eine abbildung auch bijektiv sein, damit sie konform ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 So 01.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> also muss eine abbildung auch bijektiv sein, damit sie
> konform ist?
soweit ich weiss nicht. (Bei ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia ist davon auch nicht die Rede.) Wie es bei euch genau ist musst du wohl in eurer Vorlesung nachschauen.
Oft ist man jedoch an bijektiven konformen Abbildungen interessiert (z.B. beim Riemannschen Abbildungssatz), und die Aufgabenstellung liest sich auch so, als wenn hier nach einer bijektiven konformen Abbildung gefragt ist -- ansonsten wuerde es keinen Sinn machen, den Bildbereich [mm] $\IC$ [/mm] zu aendern. Deswegen wuerde es mich nicht wundern, wenn bei euch konform auch bijektiv beinhaltet.
Also, schau's nochmal in eurer Vorlesung / in eurem Skript / in deinen Mitschriften nach.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:16 So 01.05.2011 | | Autor: | wergor |
in unserem skriptum steht "umkehrbar eindeutige, winkeltreue transformationen heißen konforme abbildungen." sie muss also bijektiv sein.
danke an alle für die hilfe!
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