konjugierten einer alg. Zahl < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:00 Fr 23.04.2010 | | Autor: | Harris |
| Aufgabe | Sei [mm] K=Q(\theta) [/mm] eine Körpererweiterung vom Grad n und [mm] \alpha [/mm] eine algebraische Zahl [mm] \in [/mm] K.
[mm] A_1 [/mm] ... [mm] A_n [/mm] seien die ganzen Zahlen mit
[mm] \alpha [/mm] = [mm] A_1 [/mm] + [mm] A_2 \cdot \theta [/mm] + ... + [mm] A_n \cdot \theta^{n-1}.
[/mm]
Seien nun [mm] \theta_2 [/mm] ... [mm] \theta_n [/mm] die Konjugierten von [mm] \theta [/mm] (also die übrigen Nullstellen des Minimalpolynoms von [mm] \theta) [/mm] und bezeichne [mm] \theta_1 [/mm] = [mm] \theta
[/mm]
Zeigen Sie: [mm] \produkt_{i=1}^{n} (A_1 [/mm] + [mm] A_2 \cdot \theta_i [/mm] + ... + [mm] A_n \cdot \theta_i^{n-1}) \in \IZ [/mm] |
Hi!
Habe ein Problem mit dieser Aufgabe.
Wäre schon für jede Idee dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:31 Fr 23.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm]K=Q(\theta)[/mm] eine Körpererweiterung vom Grad n und
> [mm]\alpha[/mm] eine algebraische Zahl [mm]\in[/mm] K.
> [mm]A_1[/mm] ... [mm]A_n[/mm] seien die ganzen Zahlen mit
>
> [mm]\alpha[/mm] = [mm]A_1[/mm] + [mm]A_2 \cdot \theta[/mm] + ... + [mm]A_n \cdot \theta^{n-1}.[/mm]
>
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> Seien nun [mm]\theta_2[/mm] ... [mm]\theta_n[/mm] die Konjugierten von [mm]\theta[/mm]
> (also die übrigen Nullstellen des Minimalpolynoms von
> [mm]\theta)[/mm] und bezeichne [mm]\theta_1[/mm] = [mm]\theta[/mm]
>
> Zeigen Sie: [mm]\produkt_{i=1}^{n} (A_1[/mm] + [mm]A_2 \cdot \theta_i[/mm] +
> ... + [mm]A_n \cdot \theta_i^{n-1}) \in \IZ[/mm]
> Hi!
>
> Habe ein Problem mit dieser Aufgabe.
Kein Wunder, sie ist naemlich falsch.
Nimm etwa $n = 2$, [mm] $\theta [/mm] = [mm] \frac{\sqrt{2}}{2}$, $A_1 [/mm] = 0$ und [mm] $A_2 [/mm] = 1$. Dann ist [mm] $\prod_{i=1}^n (A_1 [/mm] + [mm] A_2 \theta_i) [/mm] = [mm] \theta \cdot (-\theta) [/mm] = [mm] -\theta^2 [/mm] = [mm] -\frac{1}{2}$, [/mm] und das ist eindeutig keine ganze Zahl!
Kann es sein, dass [mm] $\theta$ [/mm] nicht nur algebraisch ueber [mm] $\IQ$ [/mm] sein soll, sondern ganz?
LG Felix
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