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Guten morgen!
Ich versuche zu zeigen, dass aus [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] n [mm] a_n [/mm] = a [mm] \not= [/mm] 0$ folgt, dass die Reihe [mm] $\summe_{i=1}^{\infty} a_n [/mm] $ divergiert. Dabei ist [mm] $a_n$ [/mm] eine Folge aus [mm] $\IR$.
[/mm]
Meine Idee dazu ist, dass die Folge [mm] ${a_n}$ [/mm] nur von der Form [mm] $\bruch{a}{n}$ [/mm] sein kann. Allerdings weiß ich nicht genau, wie ich damit weiter komme bzw. ob es ein möglicher Ansatz ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Martin,
> Guten morgen!
> Ich versuche zu zeigen, dass aus
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} n a_n = a \not= 0[/mm] folgt, dass
> die Reihe [mm]\summe_{i=1}^{\infty} a_n[/mm] divergiert. Dabei ist
> [mm]a_n[/mm] eine Folge aus [mm]\IR[/mm].
>
> Meine Idee dazu ist, dass die Folge [mm]{a_n}[/mm] nur von der Form
> [mm]\bruch{a}{n}[/mm] sein kann.
In dieser Weise ausgedrückt ist diese Aussage zu eng,
aber der Gedanke geht in die richtige Richtung.
Der Kern der Aufgabe liegt natürlich darin, dass
die harmonische Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n} [/mm] divergent ist.
> Allerdings weiß ich nicht genau,
> wie ich damit weiter komme bzw. ob es ein möglicher Ansatz
> ist.
Definiere und betrachte die weiteren Zahlenfolgen:
[mm] b_n:=\bruch{a}{n}
[/mm]
[mm] c_n:=a_n-b_n
[/mm]
und die entsprechenden Reihen !
LG
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Also ich habe nun die gesagten Sachen getan (zumindest fast alle).
Zunächst einmal ist klar, dass [mm] $b_n$ [/mm] gegen null konvergiert. Weiterhin ist klar, dass die Reihe [mm] $\summe_{n=1}^{\infty} b_n$ [/mm] divergiert (wegen harmonischer Reihe).
Dass [mm] $c_n$ [/mm] ebenfalls gegen null konverigert, sieht man durch folgende Tatsache:
[mm] $c_n [/mm] = [mm] a_n-\bruch{a}{n}= \bruch{1}{n}(n a_n [/mm] - a)$
Da beide Folgen [mm] ($\bruch{1}{n}$ [/mm] und $ n [mm] a_n [/mm] -a$) konvergieren, konvergiert auch das Produkt.
Die Frage ist nun, wie sieht es mit der Reihe [mm] $\summe_{n=1}^{\infty} c_n [/mm] $ aus. Würde diese konvergent sein, so könnte man relativ leicht die Divergenz von [mm] $\summe_{n=1}^{\infty} a_n [/mm] $ zeigen. Mir fällt nur nicht ein, ob halt [mm] $\summe_{n=1}^{\infty} c_n [/mm] $ konvergent bzw. divergent ist und wie man das zeigt.
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> Die Frage ist nun, wie sieht es mit der Reihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} c_n[/mm] aus. Würde diese konvergent sein,
> so könnte man relativ leicht die Divergenz von
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_n[/mm] zeigen. Mir fällt nur nicht ein,
> ob halt [mm]\summe_{n=1}^{\infty} c_n[/mm] konvergent bzw. divergent
> ist und wie man das zeigt.
Ich habe auch gemerkt, dass da wohl noch
irgendeine zusätzliche Idee fehlt.
Darum habe ich einen neuen Ansatz versucht,
und der funktioniert wirklich ganz hübsch:
Setzen wir $\ [mm] a_n=\bruch{a}{n}*f_n$ [/mm] oder
$\ [mm] f_n=\bruch{n}{a}*a_n$
[/mm]
Dann ist
[mm] $\limes_{n\to\infty}f_n=\limes_{n\to\infty}(\bruch{n}{a}*a_n)=\bruch{1}{a}*\limes_{n\to\infty}(n*a_n)=\bruch{1}{a}*a=1$
[/mm]
Wegen [mm] $\limes_{n\to\infty}f_n=1$ [/mm] muss für alle genügend grossen
Werte von n, sagen wir n>K, [mm] f_n>\bruch{1}{2} [/mm] sein.
Dann folgt:
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}a_n=\underbrace{\summe_{n=1}^{K}a_n}_{S}+\underbrace{\summe_{n=K+1}^{\infty}\bruch{a}{n}*f_n}_{T}$
[/mm]
S ist eine endliche Summe, und für den Betrag von T gilt:
$\ [mm] |T|=\left|\summe_{n=K+1}^{\infty}\bruch{a}{n}*f_n\right|=|a|*\left|\summe_{n=K+1}^{\infty}\bruch{1}{n}*f_n\right|\ge |a|*\left|\summe_{n=K+1}^{\infty}\bruch{1}{n}\right|*\left|\bruch{1}{2}\right|=\bruch{|a|}{2}*\summe_{n=K+1}^{\infty}\bruch{1}{n}$
[/mm]
Da dieses Endstück der harmonischen Reihe immer
noch unendlich ist, folgt:
die Reihe [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}a_n$ [/mm] ist divergent, Q.E.D.
Gruß
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Okay, den Beweis kann man gut nachvollziehen. Allerdings ist mir nicht klar, warum ich $ \ [mm] a_n=\bruch{a}{n}\cdot{}f_n [/mm] $ einfach so setzen kann. Folgt das aus der Voraussetzung
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] n [mm] a_n [/mm] = a [mm] \not= [/mm] 0$, da [mm] $a_n$ [/mm] nicht von anderer Form sein kann? Ist irgendwie nicht unmittelbar klar...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:56 Do 27.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
sieh dir doch mal Al's [mm] f_n [/mm] an und setz es ein! dann siehst du, dass man das nicht setzt sondern nur [mm] a_n [/mm] anders schrebt.
Gruss leduart
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> Okay, den Beweis kann man gut nachvollziehen. Allerdings
> ist mir nicht klar, warum ich [mm]\ a_n=\bruch{a}{n}\cdot{}f_n[/mm]
> einfach so setzen kann. Folgt das aus der Voraussetzung
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} n a_n = a \not= 0[/mm], da [mm]a_n[/mm]
> nicht von anderer Form sein kann? Ist irgendwie nicht
> unmittelbar klar...
Hallo Martin,
Die erste Idee war:
Wenn [mm] \limes_{n\to\infty}(n*a_n)=a [/mm] ist, dann gilt
offenbar für sehr grosse n angenähert
[mm] a_n\approx \bruch{a}{n} [/mm] ,
also müssen wohl die Differenzen
[mm] c_n=a_n-\bruch{a}{n} [/mm]
eine Nullfolge bilden, die uns vielleicht
bei unseren Überlegungen irgendwie
weiter bringen könnte.
Da dies nicht unmittelbar fruchtete
(möglicherweise kann man es noch
dazu bringen), war
die zweite Idee:
Wenn [mm] \limes_{n\to\infty}(n*a_n)=a [/mm] ist, dann setzen wir
einmal [mm] a_n=\bruch{a}{n}*f_n. [/mm] Dabei müssten die Faktoren [mm] f_n
[/mm]
gegen 1 streben. Beim weiteren Verfolgen
dieser Idee stellte sich dann heraus, dass
diese Idee zum Ziel führt.
Mein Rezept für solche Aufgaben, bei
denen nicht von Anfang an offensichtlich
ist, was zu tun ist: Intuition spielen lassen
und mögliche Ansätze ausprobieren. Dazu
braucht es etwas Spürsinn, aber auch eine
Portion Hartnäckigkeit: "nicht gleich aufgeben"
ist die Devise.
Gruß al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Do 27.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Es fehlt die Vors. [mm] a_n>0 [/mm] ab irgend einem festen N, sonst stimmts nicht.
Gruss leduart
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> Hallo
> Es fehlt die Vors. [mm]a_n>0[/mm] ab irgend einem festen N, sonst
> stimmts nicht.
> Gruss leduart
hallo leduart,
meinst du damit, dass dann die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n
[/mm]
konvergent sein könnte, obwohl [mm] \limes_{n\to\infty}(n*a_n)=a\not=0 [/mm] ?
Wenn ja, dann könntest du vielleicht ein Gegenbeispiel angeben.
Gruß  Al
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:35 Do 27.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Al
Sorry heute ist nicht mein Tag, schon der zweite Fehler der mir passiert. die einschraenkung ist natuerlich unnoetig und ich steh ohne Gegenbeispiel da ![[weisswerd]](/images/smileys/weisswerd.gif "[weisswerd]")
Gruss leduart
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> Guten morgen!
> Ich versuche zu zeigen, dass aus
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} n a_n = a \not= 0[/mm] folgt, dass
> die Reihe [mm]\summe^{\infty}_{\red{i=1}} a_n[/mm] divergiert. Dabei ist
> [mm]a_n[/mm] eine Folge aus [mm]\IR[/mm].
Der Summationsindex müsste natürlich auch n heissen !
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