konv. e. alternierenden Reihe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:58 Sa 10.12.2005 | | Autor: | Faust |
Hallo zusammen,
ich habe hier eine alternierende Reihe, dessen Konvergenz ich beweisen soll:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{2}- \bruch{1}{\wurzel{2}}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}+ \bruch{1}{\wurzel{3}}}+ \bruch{1}{\wurzel{3}- \bruch{1}{\wurzel{3}}}- \bruch{1}{\wurzel{3}+ \bruch{1}{\wurzel{4}}}+ \bruch{1}{\wurzel{4}- \bruch{1}{\wurzel{4}}}- \bruch{1}{\wurzel{4}+ \bruch{1}{\wurzel{5}}} \pm [/mm] ...
Ich hab es mit dem Quotientenkriterium versucht, aber da kommt für q=1 raus und ich hab es mit dem Majorantenkriterium versucht, was aber auch nicht funktioniert hat.
Meine Ursprüngliche Idee war es mit dem Konvergenzkriterium von Lebniz zu versuchen, nur hat man da ja das Problem, dass man die Reihe in der form [mm] \summe_{i=0}^{n} (-1)^{n}a_{n} [/mm] darstellen muss, wobei ich hier aber keine Ahnung habe wie ich das anstellen soll!
Kann mir da vielleicht bitte jemand helfen???
Vielen Dank im voraus
mfg
Faust
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Wenn du mit Leibniz die Konvergenz zeigen willst, dann musst du deine Reihe in die Form $ [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k a_k [/mm] $ bringen und dann noch zeigen, dass [mm] a_k [/mm] eine monotone Nullfolge ist.
$ [mm] a_k [/mm] $ könntest du vielleicht so formulieren:
$ [mm] \bruch{1}{\wurzel{\bruch{k}{2}-\bruch{1+(-1)^{k+1}}{4}}+(-1)^{k+1}\wurzel{\bruch{1}{\bruch{k}{2}+\bruch{1+(-1)^{k}}{4}}} }$
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow \summe_{k=4}^{\infty} (-1)^k \bruch{1}{\wurzel{\bruch{k}{2}-\bruch{1+(-1)^{k+1}}{4}}+(-1)^{k+1}\wurzel{\bruch{1}{\bruch{k}{2}+\bruch{1+(-1)^{k}}{4}}} } [/mm] $
Schöner ist 'vielleicht' statt [mm] $1+(-1)^{k+1}$ [/mm] auch Modulo zu verwenden: $k%2$  Dann na klar nicht durch 4 sondern nur noch durch 2.
Hoffe es hilft weiter^^°
lg chris
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 Di 13.12.2005 | | Autor: | wulfen |
Hallo.
Versuch´s doch mal mit ner Differenz zweier Summen. Wenn du dann für jede Summe die Konvergenz zeigen kannst, ist die Differenz doch auch konvergent, oder? Vielleicht täusch ich mich aber auch.
Die Differenz, die deine gesuchte alternierende Reihe ergibt, sieht dann so aus:
[mm] \summe_{i=2}^{n}\bruch{1}{\wurzel{n} - \bruch{1}{\wurzel{n}}}-\summe_{i=2}^{n}\bruch{1}{\wurzel{n} - \bruch{1}{\wurzel{n+1}}}
[/mm]
Ich hoffe das hilft dir vielleicht ein bißchen.
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