konvergente Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:33 Mo 21.11.2005 | | Autor: | Franzie |
Hallöchen!
ich soll folgende reihen auf konvergenz überprüfen:
a) [mm] \summe_{n=1}^{ \infty} 1/(1+1/n)^{n} [/mm] also ich bin ja der meinung, diese reihe ist nicht konvergent, weil das notwendige kriterium, nämlich falls [mm] \summe_{n=1}^{ \infty} a_{n} [/mm] konvergent ist, so ist [mm] (a_{n}) [/mm] eine nullfolge. doch das ist hier nicht der fall.
lieg ich damit richtig?
b) [mm] \summe_{n=2}^{ \infty} [/mm] ln [mm] n/(\wurzel{n}) [/mm] ich würde ja hier versuchen, das quotientenkriterium anzuwenden, also überprüfen, wie groß | ( [mm] a_{n+1})/ a_{n} [/mm] | ist. wenn ich jetzt darin einsetze, erhalte ich
| ln (n+1)/ [mm] (\wurzel{n+1}) [/mm] * [mm] (\wurzel{n}) [/mm] / ln n | aber an dieser stelle weiß ich nicht genau, wie ich weitermachen soll, um zu sehen, ob das größer oder kleiner 1 ist. oder hab ich eventuell das falsche kriterium benutzt?
liebe grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:25 Di 22.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Franzie!
Deine Argumentation für Aufgabe a.) stimmt ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") :
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{e} [/mm] \ [mm] \red{\not= \ 0}$ $\Rightarrow$ $\summe_{n=0}^{\infty}a_n$ [/mm] divergent!
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:01 Mi 23.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Franzie!
Ich bin der Meinung, dass Du hier die Divergenz mit dem Minorantenkriterium zeigen musst.
Leider fällt mir gerade keine vernünftige Begründung ein, aber m.E. gilt:
[mm] $\bruch{\blue{\ln(n)}}{\wurzel{n}} [/mm] \ [mm] \red{>} [/mm] \ [mm] \bruch{\blue{\bruch{1}{\wurzel{n}}}}{\wurzel{n}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{n}$
[/mm]
Aber wie gesagt: da fehlt mir gerade die Begründung ...
(ist so eine Bauchsache [mm] $\leftarrow$ [i]sieht nur auf dem Übungszettel etwas blöd aus als "Beweis"[/i] ;-) ).
Gruß
Loddar
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 Mi 23.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Franzie
lnn>1 für n>e also n>3. [mm] 1/\wurzel{n}<1 [/mm] für n>1 daraus folgt
ln n> [mm] 1/\wurzel{n}. [/mm] Und damit ist für [mm] n\ge [/mm] 3 [mm] lnn/\wurzel{n}>1/n [/mm] und die Reihe divergent!
Gruss leduart
|
|
|
|
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
??
![[kaffeetrinker]](/images/smileys/kaffeetrinker.gif "[kaffeetrinker]"){kind=small}
heute morgen 
.
