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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:04 Mi 14.11.2012 | | Autor: | Expo |
| Aufgabe | Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
a) Die Folge (sn) mit sn := [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!} [/mm] ist konvergent.
b)Die Folge (tn) mit [mm] tn:=(1+\bruch{1}{n})^n [/mm] ist konvergent.
c) Die Grenzwerte von (sn) und (tn) stimmen überein. |
Hallo,
a) Quotien Kreterium
[mm] \bruch{\bruch{1}{(k+1)!}}{\bruch{1}{k!}} [/mm] = [mm] \bruch{k!}{(k+1)k!} [/mm] = [mm] \bruch{1}{k+1} [/mm] < Q < 1 für n>1
b)
[mm] (1+\bruch{1}{n})^n [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k}* \bruch{1}{n^k}
[/mm]
c)
Leider haben wir den Grenzwert, die Zahl e noch nicht behandelt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:27 Mi 14.11.2012 | | Autor: | Studiiiii |
was genau ist nun deine frage?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:33 Mi 14.11.2012 | | Autor: | Expo |
Wie ich bei b) weiter komme und wie ich bei c das Problemlösse das ich Reihe und eine Folgen vergleichen muss.
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Hallo Expo,
> Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
> a) Die Folge (sn) mit sn := [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}[/mm] ist konvergent.
Das steht da? [mm]s_n[/mm] hängt gar nicht von n ab ... Ist die obere Grenze an der Summe nicht doch eher n ? ...
> b)Die Folge (tn) mit [mm]tn:=(1+\bruch{1}{n})^n[/mm] ist
> konvergent.
> c) Die Grenzwerte von (sn) und (tn) stimmen überein.
>
> Hallo,
> a) Quotien Kreterium
Was bitte?
Ich kenne wohl das "Quotientenkriterium", von "Quotien Kreterium" habe ich noch nie etwas gehört ...
>
> [mm]\bruch{\bruch{1}{(k+1)!}}{\bruch{1}{k!}}[/mm] =
> [mm]\bruch{k!}{(k+1)k!}[/mm] = [mm]\bruch{1}{k+1}[/mm] < Q < 1 für n>1
Was für ein n? Der Ausdruck [mm]\frac{1}{k+1}[/mm] ist für jedes [mm]n[/mm] der Welt konstant!
[mm]\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\frac{1}{k+1}=0=:Q<1[/mm] mit [mm]a_k=\frac{1}{k!}[/mm]
>
> b)
> [mm](1+\bruch{1}{n})^n[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\
k}* \bruch{1}{n^k}[/mm]
Ich kenne das als [mm]\sum\limits_{k=\red 0}^{n}\vektor{n\\
k}\cdot{}\frac{1}{n^k}[/mm]
Und weiter?
Ich würde eher zeigen, dass die Folge [mm](t_n)_{n\in\IN}[/mm] monoton wachsend und nach oben beschränkt ist; damit ist sie konvergent ...
>
> c)
> Leider haben wir den Grenzwert, die Zahl e noch nicht
> behandelt.
Üblicherweise wird e als GW einer der beiden Folgen definiert.
Hattet ihr das gar nicht in der VL?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:12 Mi 14.11.2012 | | Autor: | Expo |
Hallo,
Ich hätte mich beim Aufschreiben besser konzentrieren sollen. Zu b), ich habe per Induktion gezeigt das die Folge Monoton steigend ist. Nun muss noch nachweisen das sie beschränkt ist.
(1+ [mm] \bruch{1}{n})^n [/mm] < x
1+ [mm] \bruch{1}{n} [/mm] < [mm] \wurzel[n]{x}
[/mm]
wie komme ich nun weiter?
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Hallo nochmal,
> Hallo,
> Ich hätte mich beim Aufschreiben besser konzentrieren
> sollen. Zu b), ich habe per Induktion gezeigt das die Folge
> Monoton steigend ist.
Aha, zeig' mal, wenn du magst. Ich kenne das so: zeige, dass [mm] $\frac{t_{n+1}}{t_n}\ge [/mm] 1$ mittels Bernoulli-Ungleichung ...
> Nun muss noch nachweisen das sie
> beschränkt ist.
>
> (1+ [mm]\bruch{1}{n})^n[/mm] < x
> 1+ [mm]\bruch{1}{n}[/mm] < [mm]\wurzel[n]{x}[/mm]
>
> wie komme ich nun weiter?
Naja, du "weißt" ja schon, dass das gegen e geht, nimm mal eine konkrete obere Schranke, etwa $x=3$
Dann zeige per Induktion, dass für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt: [mm] $t_n\le [/mm] 3$
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Mi 14.11.2012 | | Autor: | Expo |
Ich verzweifle.
[mm] (1+\bruch{1}{n+1})^n *(1+\bruch{1}{n+1}) [/mm] < 3
[mm] (1+\bruch{1}{n+1})^n *(1+\bruch{1}{n+1}) [/mm] < [mm] (1+\bruch{1}{n})^n
[/mm]
[mm] (1+\bruch{1}{n+1}) [/mm] < [mm] \bruch{(1+\bruch{1}{n})^n}{(1+\bruch{1}{n+1})^n}
[/mm]
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Hallo Expo,
> Ich verzweifle.
Auch dann können wir Dir nur helfen, wenn Du sagst, was Du da gerade tust. In diesem Fall kann ich das zwar noch rekonstruieren, aber das ist nicht selbstverständlich
> [mm](1+\bruch{1}{n+1})^n *(1+\bruch{1}{n+1})[/mm] < 3
Aha. Das soll also der Induktionsschritt sein. Den Induktionsanfang für n=1 hast Du also schon gemacht.
Außerdem hast Du die Potenz (n+1) hier schon zerlegt, so dass sich zwei Faktoren ergeben.
> [mm](1+\bruch{1}{n+1})^n *(1+\bruch{1}{n+1})[/mm] < [mm](1+\bruch{1}{n})^n[/mm]
Und das ist schon der Fehler. Das kannst Du nicht zeigen, weil es nicht stimmt. Ich dachte, Du hättest die Monotonie der Folge schon nachgewiesen?
Logisch allerdings müsste Dir das auch auffallen.
Wenn die Induktionsvoraussetzung zutrifft, dann ist es doch nicht mehr interessant, ob spätere Folgenglieder noch kleiner werden. Interessant ist die Sache, wenn sie größer werden: bleiben sie dann trotzdem kleiner als 3?
> [mm](1+\bruch{1}{n+1})[/mm] < [mm]\bruch{(1+\bruch{1}{n})^n}{(1+\bruch{1}{n+1})^n}[/mm]
Also wie gesagt: das Relationszeichen ist hier verkehrt herum.
Ansonsten - wie wärs mal mit Doppelbruch auflösen und so?
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Fr 16.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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