konvergenz einer folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:05 Mo 25.02.2008 | | Autor: | Kreide |
| Aufgabe | [mm] a_n=(\bruch{1-x^2}{1+x^2})^n
[/mm]
Entscheiden sie für jedes x [mm] \in [/mm] IR , ob die Folge konvergent ist un dfalls sie konvergent ist, geben sie den Grenzwert an. |
hier hab ich das wurzelkirterium angewendet und ich konnte damit den fall für alle x außer 0 abdecken
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|\bruch{1-x^2}{1+x^2}|}=|\bruch{1-x^2}{1+x^2}|<1
[/mm]
dann muss man sich 2 fälle anschauen
[mm] \bruch{|1-x^2|}{|1+x^2|}<1
[/mm]
[mm] |1-x^2|<1+x^2
[/mm]
1.Fall: [mm] 1-x^2<1+x^2 [/mm] --> [mm] x^2>0
[/mm]
2.Fall: [mm] -(1-x^2)<1+x^2 [/mm] --> -1<1 wahre Aussage
Für alle x [mm] \not=0 [/mm] ist die folge abs. konvergent , also auch konvergent.
Der Grenzwert wäre dann -oo, außer für x=1, hierfür wäre der Grenzwert 0.
________________
Um auf den fall x=0 zurück zukommen:
[mm] a_n ==(\bruch{1-0^2}{1+0^2})^n=1
[/mm]
Da 1 raukommt, kann ich dann nichts darüber aussagen, ob die Folge für x=0 konvergent ist? oder ist 1 der Grenzwert?
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Hallo Kreide!
Hier handelt es sich um eine Folge und nicht um eine Reihe (= Aufsummierung von Folgengliedern). Von daher ist das Wurzelkriterium nicht anwendbar.
In Anlehnung an die geometrische Folge [mm] $b_n [/mm] \ = \ [mm] b*q^n$ [/mm] konvergiert Deine Folge für $|q| \ = \ [mm] \left|\bruch{1-x^2}{1+x^2}\right| [/mm] \ < \ 1$ .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:30 Mo 25.02.2008 | | Autor: | Kreide |
von geometischen folgen hab ich bis jetzt noch nie was gehört.... verwechselst du das gerade nicht mit der geometrischen reihe?!?!?
aber du hast recht das das wurzelkriterium nur für riehen gilt... ich wer mal überprüfen, ob die folge beschränkt und monoton is....
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> von geometischen folgen hab ich bis jetzt noch nie was
> gehört....
Hallo,
das kann sehr verschiedene Gründe haben...
> verwechselst du das gerade nicht mit der
> geometrischen reihe?!?!?
Nein, er verwechselt das nicht.
Überlege Dir, daß [mm] \bruch{1-x^2}{1+x^2} [/mm] für vorgegebenes x eine feste Zahl [mm] q_x [/mm] ist.
Und nun überlege Dir, für welche [mm] q_x [/mm] die Folge [mm] (q_x)^n [/mm] konvergiert, und wann eben nicht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 Mo 25.02.2008 | | Autor: | Kreide |
> Und nun überlege Dir, für welche [mm]q_x[/mm] die Folge [mm](q_x)^n[/mm]
> konvergiert, und wann eben nicht.
>
die folge würde konvergieren, wenn
[mm] 1)\bruch{1-x^2}{1+x^2}=0
[/mm]
[mm] 1-x^{2}=0
[/mm]
[mm] x^{2}=1
[/mm]
[mm] x_{1}=1; x_{2}=-1
[/mm]
Die Grenzwerte wären beide mal 0
[mm] 2)\bruch{1-x^2}{1+x^2}=1
[/mm]
[mm] 1-x^2=1+x^2
[/mm]
[mm] -x^2=x^2
[/mm]
[mm] -2x^2=0
[/mm]
[mm] x^2=0
[/mm]
[mm] x_{3}=0
[/mm]
Der Grenzwert wäre 1
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Hallo Kreide!
Das stimmt soweit. Aber sind das auch wirklich alle möglichen $x_$-Werte?
Setz' doch mal z.B. $x \ = \ 4$ ein ... konvergiert dann die Folge?
Wie oben angedeutet, musst Du die Ungleichung [mm] $\left|\bruch{1-x^2}{1+x^2}\right| [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\left|1-x^2\right|}{1+x^2} [/mm] \ < \ 1$ per Fallunterscheidung lösen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 Mo 25.02.2008 | | Autor: | Kreide |
also kann ich die sachen von oben ja benutzen :D
dann muss man sich 2 fälle anschauen
1.Fall: [mm]1-x^2<1+x^2[/mm] --> [mm]x^2>0[/mm]
2.Fall: [mm]-(1-x^2)<1+x^2[/mm] --> -1<1 wahre Aussage
[mm] \Rightarrow [/mm] Für alle x [mm]\not=0[/mm] konvergiert die folge und zwar wäre der Grenzwert jedes Mal -oo
wie kann man das denn allgemein zeigen?
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1-x^2}{1+x^2})^{n}
[/mm]
---------------------------
für x=0 gilt
[mm] a_{n}=(\bruch{1-0^2}{1+0^2})^n=1
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] die Folge ist konvergent für x=0, da dann den Grenzwert 1 besitzt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:25 Mo 25.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
irgendwie hast du alle Hinweise nicht verstanden!
Fragen in dem Zusammenhang:
konvergiert [mm] 0,3^n [/mm] ? wogegen? konvergiert [mm] 0,99^n [/mm] wogegen? konvergiert [mm] 1^n [/mm] wogegen ? [mm] konvergiert(-1)^n [/mm] wogegen?
(alle n gegen unendlich)
(nennt ihr [mm] 5^n [/mm] konvergent? das tun manche , manche nicht)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:18 Mo 25.02.2008 | | Autor: | Kreide |
Ich bin jetzt ganz durcheinander, ich hab doch das gemacht, was roadrunner im 2.post hingeschrieben hat.... man würde vorgehen, ähnlich wie bei ner reihenuntersuchung.... jetzt frag ich mich aber, wieso kommt roadrunner darauf, dass man
[mm] (\bruch{1-x^2}{1+x^2})^n [/mm] <1 soll?
und ich find es auch richtig, wie ich es gemacht hab--- ?!
----
meinst du folgendes?
6 fälle:
[mm] (\bruch{1-x^2}{1+x^2})^n=1^n \to [/mm] 1
[mm] (\bruch{1-x^2}{1+x^2})^n=(-1)^n \to [/mm] -1 (????? das springt ja zw 1 und -1)
[mm] (\bruch{1-x^2}{1+x^2})^n= (\bruch{x}{y})^n [/mm] , wobei x<y [mm] \to [/mm] 0
[mm] (\bruch{1-x^2}{1+x^2})^n=0^n \to [/mm] 0
[mm] (\bruch{1-x^2}{1+x^2})^n>1^n \to [/mm] oo
[mm] (\bruch{1-x^2}{1+x^2})^n<(-1)^n \to [/mm] -oo
ich glaub nicht, oder? ich versteh irgenwie jetzt gar nichts mehr :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:28 Mo 25.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> NOCH NICHT DURCHLESEN!!!
>
> Ich bin jetzt ganz durcheinander
>
> Man hat also 4 fälle:
>
> [mm](\bruch{1-x^2}{1+x^2})^n=1^n[/mm]
> [mm](\bruch{1-x^2}{1+x^2})^n= (\bruch{x}{y})^n[/mm] , wobei x<y
ungeschickt, hier wieder x zu nehmen, und warum nen Bruch? auch [mm] \wurzel{0,5}<1
[/mm]
> [mm](\bruch{1-x^2}{1+x^2})^n=0^n[/mm]
> [mm](\bruch{1-x^2}{1+x^2})^n=(-1)^n[/mm]
>
> x=-1 konvergiert gegen -1
x=-1 folgt der Bruch ist konstant 0
wenn der bruch -1 ist konv. es nicht gegen -1!
> x=0
> 0<|x|<1 konvergiert gegen 0
> x<1
siehe oben, wieso redest du hier von x und nicht von dem Bruch?
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 Mo 25.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Ich bin jetzt ganz durcheinander, ich hab doch das gemacht,
> was roadrunner im 2.post hingeschrieben hat.... man würde
> vorgehen, ähnlich wie bei ner reihenuntersuchung.... jetzt
> frag ich mich aber, wieso kommt roadrunner darauf, dass
> man
>
> [mm](\bruch{1-x^2}{1+x^2})^n[/mm] <1 soll?
>
> und ich find es auch richtig, wie ich es gemacht hab--- ?!
>
>
> ----
>
> meinst du folgendes?
>
> 6 fälle:
>
> [mm](\bruch{1-x^2}{1+x^2})^n=1^n \to[/mm] 1
richtig, dazu die entspr. x bestimmen
> [mm](\bruch{1-x^2}{1+x^2})^n=(-1)^n \to[/mm] -1 (????? das springt
> ja zw 1 und -1)
also nicht konvergent!
> [mm](\bruch{1-x^2}{1+x^2})^n= (\bruch{x}{y})^n[/mm] , wobei x<y
> [mm]\to[/mm] 0
richtig, mit x/y schlecht geschrieben!
> [mm](\bruch{1-x^2}{1+x^2})^n=0^n \to[/mm] 0
richtig
> [mm](\bruch{1-x^2}{1+x^2})^n>1^n \to[/mm] oo
richtig
> [mm](\bruch{1-x^2}{1+x^2})^n<(-1)^n \to[/mm] -oo
falsch! denk nach, warum.
zu diesen Fällen musst du jetzt die passenden x-Bereiche finden.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:02 Di 26.02.2008 | | Autor: | Kreide |
> > 6 fälle:
> >
> > [mm](\bruch{1-x^2}{1+x^2})^n=1^n \to[/mm] 1
nach x umformen: 1-x²=1+x² .... x=0
> > [mm](\bruch{1-x^2}{1+x^2})^n=(-1)^n \to[/mm] -1 (????? das
> springt
> > ja zw 1 und -1)
> also nicht konvergent!
[mm] (\bruch{1-x^2}{1+x^2})^n= (a)^n[/mm] [/mm] , wobei 0<a<1
[mm] ]\to [/mm] 0
1-x²=a+ax² .... [mm] x=|\wurzel{\bruch{1-a}{a+1}}|
[/mm]
> > [mm](\bruch{1-x^2}{1+x^2})^n=0^n \to[/mm] 0
[mm] 1-x^{2}=0
[/mm]
[mm] x^{2}=1
[/mm]
|x|=1
> > [mm](\bruch{1-x^2}{1+x^2})^n>1^n \to[/mm] oo
> richtig
bedeutet dass DIVERGENT?!?!? ja oder?
> > [mm](\bruch{1-x^2}{1+x^2})^n<(-1)^n \to[/mm] -oo
springt zwischen negativen und positiven werten, also divergent
--------------------------------
zusammengefasst
für x=0 ; x=1 ; x=-1 ; [mm] x=-\wurzel{\bruch{1-a}{a+1}} [/mm] ; [mm] x=\wurzel{\bruch{1-a}{a+1}}konvergiert [/mm] die Folge
für alle anderen x divergiert die folge
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:22 Di 26.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> > > 6 fälle:
> > >
> > > [mm](\bruch{1-x^2}{1+x^2})^n=1^n \to[/mm] 1
>
>
> nach x umformen: 1-x²=1+x² .... x=0
>
>
> > > [mm](\bruch{1-x^2}{1+x^2})^n=(-1)^n \to[/mm] -1 (????? das
> > springt
> > > ja zw 1 und -1)
> > also nicht konvergent!
>
> [mm](\bruch{1-x^2}{1+x^2})^n= (a)^n[/mm][/mm] , wobei 0<a<1
> [mm]]\to[/mm] 0
>
> 1-x²=a+ax² .... [mm]x=|\wurzel{\bruch{1-a}{a+1}}|[/mm]
> > > [mm](\bruch{1-x^2}{1+x^2})^n=0^n \to[/mm] 0
das ist sehr schlecht, du musst doch einen Bereich für x angeben! jetzt hast du da ein a drin soll dein Prof da Werte einsetzen und welche?
[mm] 0<(\bruch{1-x^2}{1+x^2})<1 [/mm]
[mm] 0<1-x^2<1+x^2 [/mm] findest du da jetzt alle möglichen x?
richtig
dann fehlt noch -1<bruch<0
> [mm]1-x^{2}=0[/mm]
> [mm]x^{2}=1[/mm]
> |x|=1
> > > [mm](\bruch{1-x^2}{1+x^2})^n>1^n \to[/mm] oo
> > richtig
>
> bedeutet dass DIVERGENT?!?!? ja oder?
Das kommt drauf an wie ihr das definiert habt! das hatte ich gefragt. man kann es bestimmt divergent nennen, oder gegen [mm] \infty [/mm] konvergent, oder divergent. ich bevorzuge das erste
> > > [mm](\bruch{1-x^2}{1+x^2})^n<(-1)^n \to[/mm] -oo
> springt zwischen negativen und positiven werten, also
> divergent
>
> --------------------------------
>
> zusammengefasst
> für x=0 ; x=1 ; x=-1 ; [mm]x=-\wurzel{\bruch{1-a}{a+1}}[/mm] ;
> [mm]x=\wurzel{\bruch{1-a}{a+1}}konvergiert[/mm] die Folge
>
> für alle anderen x divergiert die folge
siehe oben mit dem a und wenn der Bruch zw. 0 und -1 ist, d.h. der Betrag<1
Gruss leduart
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