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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:05 Sa 31.12.2005 | | Autor: | Trivalik |
| Aufgabe | 1.Geben Sie für die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{ \infty} [/mm] * [mm] \bruch{(-1)^{k}}{k!* \wurzel{k+2}} [/mm] eine konvergenze Majorante an.
2.Wie kann man mit Hilfe des Quotientenkriterium zeigen, dass die Zahlenfolge [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{n^{n}} [/mm] , n=0,1,2,3,... eine Nullfolge ist?
3. Für welche Werte von c ist die Funktion g(x) stetig? (Begründen Sie ihre Antwort)
g(x) [mm] =\begin{cases} c^{2}*x, & \mbox{für } x<1 \\ 3*c*x-2, & \mbox{für } x \ge 1 \end{cases}
[/mm]
, x [mm] \in [/mm] [-4,4].. |
zu 1. hab ich die summe auf [mm] \summe_{i=1}^{ \infty} [/mm] * [mm] \bruch{(-1)^{k}}{k!* \wurzel{k+3}} [/mm] verändert und nach konvergenz untersucht mit quotienten kriterium. Da kamm ich auf 1 + 1 das ist ja 2 und >2 damit divergent. Wenn der Ansatz falsch ist, versteh die Aufgabe net ganz.
zu 2. komm ich mit quotientenkriterium auf 1+ [mm] \bruch{1}{\bruch{n!}{n^{n}}} [/mm] das ist ja immer >1 also divergent, da kann es ja keine Nullfolge sein oder?
zu 3. hab ich Berechnungen um den Bereich 1 gemacht.
Bin mir nun aber nicht sicher ob man daran stetigkeit ablessen kann. weil wenn es für jedenpunkt einen eindeutigen Wert gibt ist die Funktion stehtig, mir scheint es gibt keinen Punkt der nicht belegt ist. oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:24 Sa 31.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Trivalik!
Bitte eröffne doch das nächste Mal für drei völlig unterschiedliche Aufgaben auch mehrere Threads. Das dient eindeutig der Übersichtlichkeit. Danke.
> zu 3. hab ich Berechnungen um den Bereich 1 gemacht.
Das ist schon mal eine sehr gute Idee.
Du musst $c_$ derart ermitteln, dass rechtsseitiger Grenzwert und linksseitiger Grenzwert übereinstimmen:
[mm] $\limes_{x\rightarrow 1\uparrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 1\uparrow}c^2*x [/mm] \ =\ [mm] c^2*1 [/mm] \ = \ [mm] c^2$
[/mm]
[mm] $\limes_{x\rightarrow 1\downarrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 1\downarrow}3c*x-2 [/mm] \ =\ 3c*1-2 \ = \ 3c-2$
Und für welche Werte von $c_$ stimmen diese beiden Grenzwerte überein (es gibt 2 Lösungen)?
Gruß
Loddar
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Hallo,
> zu 2. komm ich mit quotientenkriterium auf 1+
> [mm]\bruch{1}{\bruch{n!}{n^{n}}}[/mm] das ist ja immer >1 also
Das mag schon sein. Deine Folge ist aber auch keine Reihe! Mit dem Quotientenkriterium machst du Aussagen über Reihen. Aber man kann über [mm] a_{n} [/mm] natürlich mit
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|=:q
[/mm]
eine Aussage treffen...!
> divergent, da kann es ja keine Nullfolge sein oder?
VG Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 So 01.01.2006 | | Autor: | Trivalik |
Wenn ich [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|=:q [/mm] (ist das keine Reihe?) verwende ist q= 1+ [mm] \bruch{1}{\bruch{n!}{n^{n}}}
[/mm]
Das ist >1 also divergent somit keine Nullfolge! Oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 So 01.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Trivalik!
Von einer Reihe spricht man, wenn man einzelne Folgenglieder aufsummiert, also: [mm] $\summe_{k=1}^{n}a_k$ [/mm] .
Und bei dem Quotienten [mm] $\bruch{a_{n+1}}{a_n}$ [/mm] musst Du Dich irgendwo verrechnet haben.
[mm] $\bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\bruch{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\bruch{n!}{n^n}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(n+1)!*n^n}{(n+1)^{n+1}*n!} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(n+1)*n*\blue{(n-1)!}*n^n}{(n+1)^{n+1}*n*\blue{(n-1)!}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n+1}{n}*\left(\bruch{n}{n+1}\right)^{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n+1}{n}*\left(1-\bruch{1}{n+1}\right)^{n+1}$
[/mm]
Nun Grenzwertbetrachtung für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] ... Da entsteht dann ein Grenzwert kleiner als $1_$ .
Gruß
Loddar
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Hallo.
Bin mir der Bedeutung dieses Sternchens etwas unbewußt, sollte man es jedoch ignorieren können, so stellt [mm] $\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{j!}$ [/mm] eine konvergente Maiorante dar wegen [mm] $\frac{1}{n!\sqrt{n+2}}<\frac{1}{n!}$ [/mm] und [mm] $\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{j!}\to [/mm] e-1 \ [mm] (n\to\infty)$.
[/mm]
Sollte ich mit meiner Deutung danebengehauen haben, bitte ich Dich, dich nochmal zu melden, ansonsten
Gruß und "guten Rutsch",
Christian
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