konvergenz uneig. integrale < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 So 23.04.2006 | | Autor: | Janyary |
| Aufgabe | Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten des Integrals
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{x^{2}}{x^{3}+x+1} dx}
[/mm]
indem Sie den Integranden mit einer Funktion [mm] g:(0,\infty)\to\IR, g(x)=x^{\alpha} [/mm] mit passendem [mm] \alpha [/mm] vergleichen. |
hi leute,
mir ist an sich klar, dass ich mein integral abschaetzen muss, aber wenn ich das tue, komme ich entweder auf ne divergente majorante oder ne konvergente minorante und das hilft mir ja ueberhaupt nicht weiter.
hat vielleicht jemand nen tipp, wie ichs anders abschaetzen koennt??
LG Jany
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Hallo!
Gib doch mal dein [mm] $\alpha$ [/mm] an! Spontan würde ich auf $-1$ tippen und das Integral mit [mm] $\infty$ [/mm] angeben.
Mit freundlichen Grüßen,
Roland.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 So 23.04.2006 | | Autor: | Janyary |
das hatte ich ja auch schon versucht, aber [mm] g(x)=x^{\alpha}=\bruch{1}{x} [/mm] fuer [mm] \alpha=-1 [/mm]
aber dann ist g(x)>f(x), und damit hab ich ja ne divergente majorante. und das hilft mir ja leider nicht...
gibts vielleicht irgendnen trick bei der abschaetzung? :)
Jany
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Tach nochmal!
Demnach gehst du auch davon aus, dass man über die Konvergenz von [mm] $\integral_{1}^{\infty}{\frac{1}{x+1}\mathrm{d}x}$ [/mm] nichts sagen kann, weil die divergente Majorante [mm] $\frac{1}{x}$ [/mm] nicht konvergiert?
Die Konstante im Nenner "interessiert" die Funktion doch im Unendlichen nicht mehr. Deswegen ist doch die Abschätzung durch [mm] $\frac{1}{x}$ [/mm] durchaus gerechtfertigt, oder sehe ich das falsch?
Bis später,
Roland.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:43 So 23.04.2006 | | Autor: | Janyary |
hm, damit hast du mich echt zum nachdenken gebracht. und es macht durchaus sinn. da zeigt sich mal wieder, dass stures anwenden der kriterien nicht gleich zum ziel fuehrt, sondern eher, ein bissel nachdenken und die richtige begruendung. vielen dank :)
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