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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:28 Fr 04.11.2005 | | Autor: | Mira1 |
Hallo
Ich habe Probleme mit der Konvergenz von zwei Folgen
1)
gegeben ist eine Folge [mm] a_{n} [/mm] mit n [mm] \in \IN [/mm] , die gegen 5 konvergiert. Jetzt wurde eine neue Folge [mm] c_{n} [/mm] := [mm] 2^{a_{n}} [/mm] definiert. Ich soll jetzt den Grenzwert dieser Folge bestimmen, oder ein Gegenbeispiel finden.
Ich habe mit überlegt, dass die Folge [mm] a_{n} [/mm] für große n gegen 5 konvergiert und die neue Folge gegen [mm] 2^5, [/mm] also 32 konvergiert. Stimmt das? und wenn ja wie zeige ich das formal richtiger?!?
2)
Dann habe ich die Folge [mm] 2^n [/mm] gegeben und soll entscheiden, ob diese Folge konveriert.
Offensichtlich konvergiert diese Folge nicht. Ich habe anhand der Definition von Konvergenz überlegt, dass ich ein [mm] \varepsilon [/mm] finden muss, für das es kein N gibt, so dass für alle n [mm] \ge [/mm] N gilt: [mm] |a_{n} [/mm] - a| < [mm] \varepsilon [/mm] .
Weiter komme ich nicht und wie soll ich das a abziehen, wenn es garkeinen Grenzwert gibt?!?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
also dein erstes Beispiel kann man so nicht lösen. Dafür ist mir kein Grenzwertsatz bekannt. Ich würde eher mal nach einem Gegenbeispiel suchen. Nimm dir doch z.B. mal die Folge [mm] a_{n}=5+1/n [/mm] und schaue, ob das [mm] c_{n} [/mm] dafür konvergiert.
Also bei deinem 2. Beispiel gibt es nicht viel zu rechnen. Dass [mm] 2^{n} [/mm] für n gegen unendlich unendlich groß wird, brauch man nach meinem Verständnis nicht zu beweisen.
Aber wenn das so verlangt ist, dann nimm doch mal an [mm] 2^{n} [/mm] konvergiert und führe das mit deiner Definition zum Widerspruch. Ist ganz einfach!
VG mathmetzsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:42 Sa 05.11.2005 | | Autor: | andreas |
hi
> also dein erstes Beispiel kann man so nicht lösen. Dafür
> ist mir kein Grenzwertsatz bekannt. Ich würde eher mal nach
> einem Gegenbeispiel suchen. Nimm dir doch z.B. mal die
> Folge [mm]a_{n}=5+1/n[/mm] und schaue, ob das [mm]c_{n}[/mm]
> dafür konvergiert.
eine kurze anmerkung: ich glaube, dass auch für dein beispiel gilt [m] c_n := 2^{a_n} = 2^{5 + \frac{1}{n}} \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} 2^5 = 32[/m] - im prinzip folgt dies aus der stetigkeit der exponentialfunktion.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:44 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Mira1 |
Hallo,
also, die Folge [mm] c_{n} [/mm] konvergiert also wirklich gegen 32? Aber die Argumenatation über die Stetigkeit der exponentialfunktion verstehe ich noch nicht so ganz. Kann ich einfach sagen, weil Exponetialfunktonen keine Lücken haben und der Exponent für große n gegen 5 geht konvergiert die Folge [mm] c_{n} [/mm] gegen 32?
und für die Folge [mm] 2^n [/mm] finde ich mit der Definition keinen Ansatz, ich habe doch keinen Wert, den ich für a einsetzen kann. Ich kann diese komische Definition nicht wirklich anwenden, habe ich so das Gefühl.
Gruß
Mira
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Das ist im Prinzip dieselbe Argumentation - nur etwas einfacher formuliert 
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