konvergenz von Reihen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:05 Do 25.11.2004 | | Autor: | maik2004 |
Hallo.
Habe vollgendes Problem.
Ich soll: Die vollgenden Reihen auf Konvergenz untersuchen und gegebenen falls den
Grenzwert bestimmen.
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2^n^+^1}{5*3^n}
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n*(n+1)}
[/mm]
c) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1+n}{1+n^2}
[/mm]
als tip zu b) ist gegeben:
benutzen sie dass [mm] \bruch{1}{n*(n+1)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n+1}
[/mm]
Ich habe leider keine ahnung wie ich da vorgehen soll.
Bin für jede Hilfe dankbar.
mfg Maik
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:50 Do 25.11.2004 | | Autor: | frabi |
Hallo![br]
zu a) bin ich der Meinung, dass man hier mit der geometrischen Reihe weiterkommt:
[mm]
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n+1}}{5\cdot 3^n} =
\frac{2}{5}\cdot\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{3^n} =
\frac{2}{5}\cdot\left(\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^n - 1\right)=
\frac{2}{5}\cdot\left(\frac{1}{1-2/3}-1\right)=
\frac{2}{5}\cdot\left(3-1\right)=
\frac{4}{5}
[/mm]
Falls ich mich nicht verrechnet hab.[br]
viele Grüße
Frabi
P.S. wie schreibt man denn hier einen Zeilenumbruch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:46 Do 25.11.2004 | | Autor: | frabi |
zu b)
Hier kann man die Reihe ja mal so schreiben, wie im Hinweis angedeutet:
[mm]
\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n(n+1)} =
\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}
[/mm]
und schliesslich ausseinanderziehen:
[mm]
= \left(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\right) - \left(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n+1}\right)
[/mm]
jetzt fällt auf, dass man den zweiten Term auch wie den ersten darstellen kann, wenn
man an den Indizes etwas dreht:
[mm]
= \left(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\right) - \left(\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n}\right)
[/mm]
Wenn man jetzt wieder bei $1$ anfängt zu zählen, heben sich beide Summen fast weg:
[mm]
= \left(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\right) - \left(\left(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\right)-1\right)
[/mm]
viele Grüße
frabi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:55 Do 25.11.2004 | | Autor: | maik2004 |
verdammt.
das bei b) ist mir überhaupt nicht aufgefallen.
werde mich gleich nocheinmal an die aufgabe setzen.
vielen dank für deine hilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:08 Do 25.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fabian,
> zu b)
>
> Hier kann man die Reihe ja mal so schreiben, wie im Hinweis
> angedeutet:
>
> [mm]
\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n(n+1)} =
\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}
[/mm]
>
>
> und schliesslich ausseinanderziehen:
>
> [mm]
= \left(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\right) - \left(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n+1}\right)
[/mm]
>
>
> jetzt fällt auf, dass man den zweiten Term auch wie den
> ersten darstellen kann, wenn
> man an den Indizes etwas dreht:
>
> [mm]
= \left(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\right) - \left(\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n}\right)
[/mm]
>
>
> Wenn man jetzt wieder bei [mm]1[/mm] anfängt zu zählen, heben sich
> beide Summen fast weg:
>
> [mm]
= \left(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\right) - \left(\left(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\right)-1\right)
[/mm]
Deine Idee ist richtig, die mathematische Ausführung falsch:
Es gilt:
[mm] $\left(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\right)=\infty$ [/mm] (d.h., die Reihe ist bestimmt divergent gegen [mm] $\infty$), [/mm] und bei dir stünde am Ende so etwas wie:
[mm] $\infty-(\infty-1)$ [/mm]
da, und [mm] $\infty-\infty$ [/mm] ist ein unbestimmter Ausdruck und keineswegs mit $0$ gleichzusetzen!
Ich schreibe das ganze mal korrekt auf:
Für jedes $k [mm] \in \IN$ [/mm] gilt
[mm]
\sum_{n=1}^k\frac{1}{n(n+1)} =
\sum_{n=1}^k\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)
= \left(\sum_{n=1}^k\frac{1}{n}\right) - \left(\sum_{n=1}^k\frac{1}{n+1}\right)[/mm]
[mm]= \left(\sum_{n=1}^k\frac{1}{n}\right) - \left(\sum_{n=2}^{k+1}\frac{1}{n}\right)
=1+\left(\sum_{n=2}^k\frac{1}{n}\right)- \left(\sum_{n=2}^{k}\frac{1}{n}\right)-\frac{1}{k+1}=1-\frac{1}{k+1}[/mm]
Und daraus folgt:
[m]\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n(n+1)}=\lim_{k \to \infty}\sum_{n=1}^k\frac{1}{n(n+1)}=\lim_{k \to \infty}\left(1-\frac{1}{k+1}\right)=1-\lim_{k \to \infty}\frac{1}{k+1}=1-0=1[/m]
Viele Grüße,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:11 Do 25.11.2004 | | Autor: | frabi |
zu c)
[mm]
\sum_{n=1}^\infty\frac{1+n}{1+n^2}
[/mm]
Größenordnungsmäßig ist [mm] $\frac{1+n}{1+n^2}$ [/mm] ja sowas wie [mm] $\frac{1}{n}$. [/mm]
Wenn man jetzt zeigen könnte, dass unsere Reihe eine Majorante für die
Harmonische Reihe ist, so wären wir schon fertig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:18 Do 25.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ja, die Idee ist genau die richtige:
Vielleicht gebe ich dir mal eine einfache Abschätzung an:
[m]\frac{1+n}{1+n^2}\ge \frac{n}{1+n^2}\ge \frac{n}{2n^2}=\frac{1}{2}*\frac{1}{n}[/m]
Das gilt für alle $n [mm] \in \IN$. [/mm] Siehst du jede Abschätzung ein, oder ist dir eine davon unklar?
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:24 Do 25.11.2004 | | Autor: | frabi |
> Vielleicht gebe ich dir mal eine einfache Abschätzung
> an:
> [m]\frac{1+n}{1+n^2}\ge \frac{n}{1+n^2}\ge \frac{n}{2n^2}=\frac{1}{2}*\frac{1}{n}[/m]
>
> Das gilt für alle [mm]n \in \IN[/mm].
Man könnte doch auch
[mm]
\frac{1+n}{1+n^2} \ge \frac{1}{n} \Leftrightarrow
n(1+n) \ge 1+n^2\Leftrightarrow
n+n^2 \ge 1+n^2\Leftrightarrow
n \ge 1
[/mm]
Was ja auch für alle relevanten $n$ gilt, oder?
grüße
frabi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:12 Fr 26.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Frabi,
> > Vielleicht gebe ich dir mal eine einfache Abschätzung
>
> > an:
> > [m]\frac{1+n}{1+n^2}\ge \frac{n}{1+n^2}\ge \frac{n}{2n^2}=\frac{1}{2}*\frac{1}{n}[/m]
>
> >
> > Das gilt für alle [mm]n \in \IN[/mm].
>
> Man könnte doch auch
> [mm]
\frac{1+n}{1+n^2} \ge \frac{1}{n} \Leftrightarrow
n(1+n) \ge 1+n^2\Leftrightarrow
n+n^2 \ge 1+n^2\Leftrightarrow
n \ge 1
[/mm]
>
> Was ja auch für alle relevanten [mm]n[/mm] gilt, oder?
Ja, klar. 
Viele Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 Fr 26.11.2004 | | Autor: | T000B |
Hi!
Ich verzweifle an dieser Aufgabe und hab leider noch keinen Lösungsansatz... Bitte helft mir !!
Zeigen Sie, dass die Zahlenfolge [mm] \{ \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k} \} n\in \IN [/mm] den Grenzwert [mm] +\infty [/mm] hat!
DANKE!!
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