konvergenz von reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo leute meine frage dreht sich um die konvergenz von reihen also:
i)Die Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty} |a_k| [/mm] sei konvergent.
zz.:dann konvergiert auch [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (a_k)^2
[/mm]
Nunja wegen a betrag weiss ich das die reihe absolut konvergiert also auch
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_k [/mm] konvergiert.
Aus Nullfolgenkriterium folgt das [mm] a_k [/mm] ist eine Nullfolge ...
naja [mm] a_k^2 [/mm] = [mm] a_k [/mm] * [mm] a_k [/mm]
und schon bin ich am ende mit meinem latein hoffe ihr gebt mir einen schubs
ii) untersuchen der Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^n} [/mm] auf Konvergenz
mit welchem verfahren könnte man das untersuchen?
danke für eure mitarbeit leute ^^
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:43 Fr 04.12.2015 | | Autor: | abakus |
> Hallo leute meine frage dreht sich um die konvergenz von
> reihen also:
> i)Die Reihe [mm]\summe_{k=0}^{\infty} |a_k|[/mm] sei konvergent.
> zz.:dann konvergiert auch [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (a_k)^2[/mm]
>
> Nunja wegen a betrag weiss ich das die reihe absolut
> konvergiert also auch
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_k[/mm] konvergiert.
> Aus Nullfolgenkriterium folgt das [mm]a_k[/mm] ist eine Nullfolge
> ...
> naja [mm]a_k^2[/mm] = [mm]a_k[/mm] * [mm]a_k[/mm]
> und schon bin ich am ende mit meinem latein hoffe ihr gebt
> mir einen schubs
Hallo,
für 0<a<1 gilt
0<a²<a<1.
Entweder, du kannst das als bekannt voraussetzen, oder du kannst es beweisen.
(Soviel zum erwünschten "Schubs".)
Gruß Abakus
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> ii) untersuchen der Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^n}[/mm]
> auf Konvergenz
> mit welchem verfahren könnte man das untersuchen?
>
> danke für eure mitarbeit leute ^^
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danke für den tipp ^^
also weil [mm] a_k [/mm] nullfolge ist gilt für fast alle k [mm] a_k [/mm] < 1 deshalb 0<a<1
folglich gilt auch [mm] (a_k)^2
wegen majorantenkriterium konvergiert auch [mm] (a_k)^2
[/mm]
nur ka wie ich das jetzt anwende oder reicht das so nicht schon weil ich habe ja keine explizite reihe angegeben (das kriterium hatten wir auch noch nicht in der vorlesung )
tüdeldü dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Mi 09.12.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:52 Sa 05.12.2015 | | Autor: | fred97 |
Zu ii):
Majorantenkriterium.
FRED
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Danke Fred ^^
stimmt das jetzt was ich zu i habe oder wie schreibe ich es formal richtig auf des es stimmt?
zu ii) also wenn die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty} [/mm] konvergiert wäre ja [mm] a_n =1/n^n [/mm] eine Nullfolge
habe versucht mal eine abschätzung zu machen für das majorantenkriterium:
[mm] \bruch{1}{n^n} [/mm] < [mm] \bruch{1}{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n(1^n)}
[/mm]
habe dann für die folge [mm] \bruch{1}{n} [/mm] gezeigt das sie konvergiert indem ich monotonie und beschränktheit nachgewiesen habe.
wie hilft mir das weiter für meine abschätzung ?
ist damit die konvergenz von [mm] \bruch{1}{n^n} [/mm] auch bewiesen weil ja gilt:
[mm] \bruch{1}{n^n} [/mm] < [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
gelten muss ja für das majorantenkriterium [mm] |a_n| \le c_n
[/mm]
wie gehts weiter ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:23 Mo 07.12.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo mathnoob9!
> zu ii) also wenn die Reihe [mm]\summe_{i=1}^{\infty}[/mm]
> konvergiert wäre ja [mm]a_n =1/n^n[/mm] eine Nullfolge
Du meinst:
Sei [mm] \sum_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] eine konvergente Reihe. Dann ist [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine Nullfolge.
> habe versucht mal eine abschätzung zu machen für das
> majorantenkriterium:
> [mm]\bruch{1}{n^n}[/mm] < [mm]\bruch{1}{n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{n(1^n)}[/mm]
für fast alle [mm] $n\in\IN$.
[/mm]
Problem: Die harmonische Reihe divergiert!
> habe dann für die folge [mm]\bruch{1}{n}[/mm] gezeigt das sie
> konvergiert indem ich monotonie und beschränktheit
> nachgewiesen habe.
Problem: Siehe oben.
Außerdem: Die Konvergenz einer Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] ist nur ein notwendiges Kriterium für die Konvergenz der Reihe [mm] $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$. [/mm]
(Übrigens: Die Konvergenz der Folge [mm] $(1/n)_{n\in\IN}$ [/mm] zeigt man doch bitte mit der Definition!)
> wie hilft mir das weiter für meine abschätzung ?
> ist damit die konvergenz von [mm]\bruch{1}{n^n}[/mm] auch bewiesen
> weil ja gilt:
> [mm]\bruch{1}{n^n}[/mm] < [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
Problem: Siehe oben.
> gelten muss ja für das majorantenkriterium [mm]|a_n| \le c_n[/mm]
für fast alle [mm] $n\in\IN$.
[/mm]
Die Reihe [mm] $\sum_{n=1}^{\infty}c_n$ [/mm] muss aber auch konvergieren!
> wie gehts weiter ???
Deine Abschätzung
[mm] $(\star)\quad\frac{1}{n}\le [/mm] 1$ für alle [mm] n\in\IN
[/mm]
führt zum Ziel!
Es gilt
[mm] \frac{1}{n^n}=\frac{1}{\underbrace{n*\ldots*n}_{n-\text{ mal}}}=\underbrace{\frac{1}{n}*\ldots*\frac{1}{n}}_{n-\text{mal}}.
[/mm]
Alle Faktoren mit [mm] $(\star)$ [/mm] abschätzen macht keinen Sinn, denn [mm] $\sum_{n=1}^{\infty}1$ [/mm] divergiert.
Deine Idee war es [mm] $n-1\$ [/mm] Faktoren mit [mm] $(\star)$ [/mm] abzuschätzen, aber das macht auch keinen Sinn, denn [mm] $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ [/mm] divergiert.
Hast du vielleicht eine Idee?
Allgemein: Für welche [mm] $\alpha\$ [/mm] konvergiert [mm] $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\alpha}}$?
[/mm]
Gruß
DieAcht
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