konvergenz zeigen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | es sei [mm] a_{k} [/mm] eine streng monoton fallende nullfolge. wir betrachten die reihe
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{k}z^{k} [/mm] für verschiedene bereiche von C [mm] \in \IC.
[/mm]
Zeigen Sie, dass für z [mm] \in [/mm] {w [mm] \in \IC: [/mm] |w|=1} \ {1} die reihe immer konvergiert. Hinweis: Multiplizieren Sie mit (z-1) und wende Sie das cauchy kriterium an! |
also ich hab zunächst mit (z-1) multipliziert und erhalte: [mm] \bruch{1}{z-1} \summe_{k=0}^{\infty} a_{k} (z^{k+1}-z^{k}). [/mm]
das cauchy kriterium besagt doch ganz allgemein, dass es für jedes [mm] \varepsilon [/mm] >0 ein [mm] n_{0} [/mm] gibt, sodass für alle n,m [mm] \ge n_{0} [/mm] mit n>m gilt: | [mm] \summe_{k=m+1}^{n} a_{k} [/mm] | < [mm] \varepsilon
[/mm]
in diesem falle muss ich doch aber das ganze argument der reihe für [mm] a_{k} [/mm] einsetzen, also auch das z mit der potenz. wie komm ich dann weiter? DANKE.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:14 So 20.12.2009 | | Autor: | sepp-sepp |
hat denn niemand einen tipp zur lösung dieser aufgabe?
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> es sei [mm]a_{k}[/mm] eine streng monoton fallende nullfolge. wir
> betrachten die reihe
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_{k}z^{k}[/mm] für verschiedene bereiche
> von C [mm]\in \IC.[/mm]
> Zeigen Sie, dass für z [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{w [mm]\in \IC:[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> |w|=1} \ {1} die reihe immer konvergiert. Hinweis:
> Multiplizieren Sie mit (z-1) und wende Sie das cauchy
> kriterium an!
> also ich hab zunächst mit (z-1) multipliziert und
> erhalte: [mm]\bruch{1}{z-1} \summe_{k=0}^{\infty} a_{k} (z^{k+1}-z^{k}).[/mm]
> das cauchy kriterium besagt doch ganz allgemein, dass es
> für jedes [mm]\varepsilon[/mm] >0 ein [mm]n_{0}[/mm] gibt, sodass für alle
> n,m [mm]\ge n_{0}[/mm] mit n>m gilt: | [mm]\summe_{k=m+1}^{n} b_{k}[/mm]
> | < [mm]\varepsilon[/mm]
> in diesem falle muss ich doch aber das ganze argument der
> reihe für [mm]b_{k}[/mm] einsetzen, also auch das z mit der potenz.
> wie komm ich dann weiter? DANKE.
Hallo,
ja, genau.
Hast Du Dir [mm] |\summe_{k=m+1}^{n} b_{k}| [/mm] mit [mm] b_k=a_k(z^{k+1}-z^k) [/mm] mal ausgeschrieben?
Wenn Du dann nach Potenzen von z sortierst, die Dreiecksungleichung verwendest und die Eigenschaften der Reihe [mm] (a_k) [/mm] berücksichtigst, müßte sich doch eigentlich was ergeben, mit dem man zum Ziel kommt.
Gruß v. Angela
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