konvergenzgeschwindigkeit < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:05 Mi 24.10.2007 | | Autor: | bjoern.g |
| Aufgabe | Konvergenzgeschwindigkeit und 0-Notation
an= [mm] \bruch{3n^{3}+4n^{2}+2n}{6n^{3}} [/mm] |
Hi kann mir mal jemand an dem bsp. das mit der konvergenzgeschwindigkeit erklären.
aber am besten so einfach wie möglich :)
hab das in der vorlesung nicht richtig verstanden und das was im skript drin steht ist irgendwie naja also nicht so das mans direkt versteht. irgendwie seltsam.
danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:42 Mi 24.10.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
[mm] a_{n}=\bruch{1}{2}+\bruch{2}{3n}+\bruch{1}{3n^{2}} [/mm] konvergiert gegen 1/2.
Die Konvergenzgeschwindigkeit gibt an wie schnell [mm] a_{n} [/mm] dies tut, oder grob gesagt ob nach vielen (konvergiert langsam) oder wenigen (konvergiert schnell) Folgengliedern [mm] a_{n} [/mm] so gut wie gleich 1/2 ist.
[mm] a_{10}=0,507 [/mm] und [mm] a_{100}=0,5067. [/mm] Bei [mm] (a)_{n\in\IN} [/mm] ist man schon nach 10 Gliedern relativ nah am Grenzwert, aber der Abstand zum Grenzwert wird relativ langsam verkürzt. Entsprechend handelt es sich um lineare Konvergenz mit einer Konstanten größer 1.
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Mi 24.10.2007 | | Autor: | bjoern.g |
also in der lösung steht hier folgendes
[mm] an=\bruch{1}{2}+0(\bruch{1}{n})
[/mm]
--> |an-a| = [mm] |\bruch{3n^{3}+4n^{2}+5n}{6n^{3}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}| [/mm] =
| [mm] \burch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{4n^{2}+5n}{6n^{3}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}|= \bruch{4n^{2}+5n}{6n^{3}} [/mm] <= [mm] \bruch{4n^{2}+5n^{2}}{6n^{3}}=\bruch{3}{2}*\bruch{1}{n}
[/mm]
für n>=1
mit K= 3/2 und No=1
--> da steig ich nicht so ganz dahinter wie plötzlich [mm] 5n^{2} [/mm] und wann n>=1 ?? wie kommt man darauf :(
und warum da plötzlich noch 1/2 + ....... davor steht
(12=1/2) ka warum der da 12 schreibt steht im quelltext als bruch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:02 Mi 24.10.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Das ist ein etwas schlampiger Beweis, aber...
> | [mm]\burch{1}{2}[/mm] + [mm]\bruch{4n^{2}+5n}{6n^{3}}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}|= \bruch{4n^{2}+5n}{6n^{3}}[/mm]
> <= [mm]\bruch{4n^{2}+5n^{2}}{6n^{3}}=\bruch{3}{2}*\bruch{1}{n}[/mm]
> --> da steig ich nicht so ganz dahinter wie plötzlich
> [mm]5n^{2}[/mm] und wann n>=1 ?? wie kommt man darauf :(
Man schätzt ab: auf der rechten Seite steht ein Bruch mit dem selben Nenner wie auf der linken, aber mit einem größeren Zähler (da [mm] 5n\le 5n^{2} [/mm] für alle [mm] n\ge [/mm] 1). Man könnte auch [mm] 5n^{20} [/mm] statt [mm] 5n^{2} [/mm] wählen, das Ziel ist aber [mm] n^{2} [/mm] zu kürzen.
Welche Definition von Konvergenzgeschwindigkeit benutzt ihr?
Gruß,
dormant
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irgendwie heavy ich schnalls immer noch net so ganz
hier mal die def.:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:09 Mi 24.10.2007 | | Autor: | bjoern.g |
mal noch ein bsp wie würde es hier funktionieren?
[mm] an=\bruch{n²+200}{n^{4}} [/mm]
vorallem woran erkenne ich ob es linear ist und wann nicht das wäre auch noch ganz gut
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Fr 26.10.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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