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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 Do 11.01.2007 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Konvergenzradius von
[mm] \summe_{}^{}\bruch{(3n!)}{(n!)^{2}}*x^{n} [/mm] |
der formale Weg ist klar:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{|ak}{ak+1}|=
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(3n!)}{(n!)^{2}}|*|\bruch{((n+1!)^{2})}{(3(n+1)!)}|
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(3n!)}{n!*n!}|*|\bruch{n!(n+1)*n!(n+1)}{(3n+3)!}|
[/mm]
wie kriege ich jetzt (3n+3)! weiter aufgelöst mit dem Ziel, mit dem Zähler , also mit (3n!) zu kürzen????
Oder muss ich einen ganz anderen Ansatz wählen?
Als Lösung soll übrigens [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}=0 [/mm] rauskommen....
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Hallo,
da das jetzt mein erster produktiver Betrag ist, hoffe ich das ich alles richtig mache. ;)
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{3(n+1)!}{((n+1)!)^{2}}
[/mm]
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{3n!}{(n!)^{2}}
[/mm]
daraus folgt: [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] = [mm] \bruch{3(n+1)! (n!)^{2}}{((n+1)!)^{2} 3n!}
[/mm]
und dann weißt du doch das (n+1)!=n!(n+1) und dann probiers mal weiter.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Do 11.01.2007 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | | Hallo! Sorry, aber ich glaube mein Ansatz mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{ak}{ak+1}| [/mm] war schon der richtige, da ich ja den Konvergenzradius bestimmen will und nicht mittel Quotientenkriterium prüfen will, ob eine Reihe konvergiert, denn genau das wäre der Ansatz [mm] |\bruch{ak+1}{ak}| [/mm] |
Ja, über (1+n)!=n!*(1+n) weiß ich ja bescheit, hab ich ja auch schon angewendet.
Mir geht es lediglich darum, zu vereinfachen, was (3+n)! ist.
Ich hab hier sogar ein Ansatz gefunden: (3+n)! = 3n!*(3n+1)*(3n+2)*(3n+3). Ich bin mir aber nicht sicher, ob das richtig ist, bzw. wie man darauf kommt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:07 Do 11.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Mir geht es lediglich darum, zu vereinfachen, was (3+n)!
> ist.
>
> Ich hab hier sogar ein Ansatz gefunden: (3+n)! =
> 3n!*(3n+1)*(3n+2)*(3n+3). Ich bin mir aber nicht sicher, ob
> das richtig ist, bzw. wie man darauf kommt.
Das scheint nicht zu passen.
Es gilt:
[mm] (3+n)!=(3+n)*((3+n)-1)*(3+n-2)*(3+n-3)*(3+n-4)*(3+n-5)*\cdots*3*2+1
[/mm]
[mm] =(n+3)(n+2)(n+1)\underbrace{n(n-1)(n-2)\cdots}_{=n!}
[/mm]
=(n+3)(n+2)(n+1)*n!
Jetzt klarer?
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Do 11.01.2007 | | Autor: | RalU |
ok, ich wandle also (3+n)! um in n!(n+1)(n+2)(n+3). Soweit klar.
Jetz will ich das aber mit (3n)! kürzen. Un nun? ist [mm] \bruch{(3n)!}{n!(n+1)(n+2)(n+3)}=\bruch{3!*n!}{n!(n+1)(n+2)(n+3)} =\bruch{3!}{(n+1)(n+2)(n+3)} [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 Do 11.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
Fast
[mm] (3n)!\ne3!*n!
[/mm]
[mm] (3n)!=3n*(3n-1)*(3n-2)*(3n-3)*...*\underbrace{\underbrace{(3n-n}_{=2n})*(2n-1)*...*\underbrace{(\underbrace{3n-2n}_{=n})*(n-1)*...*2*1}_{=n!}}_{=(2n)!}
[/mm]
Wenn du also durch n! kürzt, hast du nicht viel gewonnen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Do 11.01.2007 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | Ok, also jetz nochmal komplett:
ich habe also dann da stehen: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{ak}{ak+1} [/mm] (ich hoffe das geht jetz so in Ordnung) |
= [mm] \bruch{(3n)!}{(n!)^{2}}*\bruch{((n+1)!)^{2}}{(3(n+1)!)}
[/mm]
(Grenzwert und Betrag weggelassen)
[mm] =\bruch{(3n)!}{n!*n!}*\bruch{(n!(n+1)*(n!(n+1))}{3(n!(n+1))}
[/mm]
[mm] =\bruch{(3n)!}{n!*n!}*\bruch{(n!(n+1)*(n!(n+1))}{3(n!(n+1))}
[/mm]
als nächstes würde ich jetz die beiden n! in Zähler und Nenner kürzen...
also
[mm] =\bruch{(3n)!}{1}*\bruch{(1(n+1)*(1(n+1))}{3(n!(n+1))}
[/mm]
weiter weiß ich wieder nicht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 Do 11.01.2007 | | Autor: | leduart |
Sieh e Antwort unten.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:52 Do 11.01.2007 | | Autor: | baufux |
Servus!
Ja, aber wenn du weist, für welche x deine Reihe konvergiert, kannst du daraus doch den Konvergenzradius schließen.
Also im ersten Post müsste man Zähler und Nenner vertauschen, da das Quotientenkriterium folgendermaßen lautet:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}<1 \Rightarrow[/mm] Reihe über die [mm] a_{n}'s [/mm] ist Konvergent
Dann erhält man wie schon "fast" geschrieben:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3*(n+1)!*(n!)^2*x^{n+1}}{((n+1)!)^2*3*n!*x^n}[/mm]
Jetzt noch kürzen ergibt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n!*x}{(n+1)!}[/mm]
Jetzt kann man noch innerhalb der Fakultäten kürzen und erhält:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x}{n+1} = 0[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Konvergenzradius = [mm] \infty
[/mm]
Grüße Baufux
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Do 11.01.2007 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | | Laut Musterlösung (Klausur) erhalte ich aber als Grenzwert = 0 |
Und ich bin ziemlich verwirrt. Denn in der Musterlösung wurde auch [mm] |\bruch{ak}{ak+1}|gebildet, [/mm] statt [mm] |\bruch{ak+1}{ak}|
[/mm]
Gebt Ihr mir zumindest Recht, dass das Wurzelkriterium zum Nachweis des Konvergenzradius so lautet: [mm] \wurzel[k]{\bruch{1}{ak}} [/mm] und nicht wie alltemein zum Nachweis der Konvergenz [mm] \wurzel[k]{ak}???
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:58 Do 11.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Mit dem Konvergenzradius hast du recht!
Der Fehler ist, dass fast sicher im Zähler (3n)! und NICHT
3*(n!) was du mit 3n! suggerierst.
dann kommt auch 0 raus. denn (3*(n+1))!=(3n+3)!=(3n)!*(3n+1)*(3n+2)*(3n+3)
Wie man drauf kommt? setze 3n=m und berechne (m+3)!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:04 Do 11.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo leduart:
Wenn du schreibst [mm] (3\red{+}(n+1))!=(3n+3)! [/mm] ist das nicht korrekt
[mm] 3+n+1=n+2\ne3n+3
[/mm]
Wenn du meinst, [mm] 3\green{*}(n+1)=3n+3 [/mm] ist das aber korrekt
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:36 Do 11.01.2007 | | Autor: | leduart |
Danke, ich habs verbessert. blöd, dass * und + auf derelben Taste sind.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Do 11.01.2007 | | Autor: | RalU |
[mm] =\bruch{(3n!)*(n+1)*(n+1)}{(3n!)(3n+1)(3n+2)(3n+3)}
[/mm]
[mm] =\bruch{(n+1)(n+1)}{(3n+1)(3n+2)(3n+3)}
[/mm]
=???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:53 Do 11.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Zähler im Wesentlichen [mm] n^2, [/mm] Nenner im Wesentlichen [mm] 9n^3, [/mm] Ergebnis 1/9n geht gegen 0!
Ausführlicher: Alles ausmultiplizieren, Z und N durch [mm] n^3 [/mm] dividieren.
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:20 Mo 29.01.2007 | | Autor: | aineias |
ist denn jetzt somit der konvergenzradius R= [mm] \infty [/mm] ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mi 31.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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http://uni-wiki.mayastudios.net/index.php/Potenzreihe