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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:41 Do 01.10.2009 | | Autor: | katjap |
| Aufgabe | Bestimmen SIe den KOnvergenzradiu der Potenzreihe
[mm] \summe_{}^{} \bruch{-1^{n}}{n!} [/mm] * [mm] (\bruch{n}{e})^{n} x^{n} [/mm] |
Hallo!
Ich komme hier irgendwie bei der Lösung nicht weiter.
Ich dachte ich wende folgendes für den Konvergenzradius an:
r= [mm] \bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{a_n}
[/mm]
leider komme ich damit nicht weiter, denn das ergibt:
= [mm] \bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}} [/mm] -1* [mm] \bruch{n}{e} *\wurzel[n]{\bruch{1}{n!}}
[/mm]
kann mir jemand weiterhelfen, was ihc nun tun muss,
oder ob ich doch eher die andere methode verwenden soll?
danke!
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> Bestimmen SIe den KOnvergenzradiu der Potenzreihe
>
> [mm]\summe_{}^{} \bruch{-1^{n}}{n!}[/mm] * [mm](\bruch{n}{e})^{n}\,\red{ x_n}[/mm]
Was ist denn da noch dieses [mm] x_n [/mm] ??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:04 Do 01.10.2009 | | Autor: | katjap |
na das ist in der aufgabe nicht näher definiert.
aber dachte auch, dass potenzreihen definiert sind als:
[mm] \summe_{}^{} a_n [/mm] * [mm] x^{n}
[/mm]
ahh ich seh grad, hab mich da vertippt, das heisst nicht [mm] x_n [/mm] sondern [mm] x^{n} [/mm]
sorry!
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Hallo Katja!
Zum einen verschwindet der Faktor $(-1)_$ aus dem Term für den Konvergenzradius, da dort auch Betragsstriche stehen.
Für eine weitere Abschätzung kannst Du nun z.B. die ![[]](/images/popup.gif) Stirling-Formel anwenden mit:
$$n! \ [mm] \approx [/mm] \ [mm] \wurzel{2\pi n}*\left(\bruch{n}{e}\right)^n$$
[/mm]
Oder Du verwendest für den Konvergenzradius die alternative Formel, welche an das Quotientenkriterium angelehnt ist.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 Do 01.10.2009 | | Autor: | katjap |
die abschätzung kenne ich so nicht, daher glaube ich nicht dass ich sie verwenden darf,
wenn ich das an das quotientenkriterium angelehnte verfahren nehme,
dann komme ich allerdings auch nicht weiter, denn so lande ich bei:
r= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}| [/mm] (n+1) * [mm] \bruch{(\bruch{n}{e})^{n}}{(\bruch{n+1}{e})^{n+1}}|
[/mm]
und damit komme ich auhc nicht weiter,
steckt irgendwo ein fehler, oder hat mirjemand einen weiteren tip?
danke!
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Hallo Katja!
Du kannst hier noch etwas mit Bruchrechnung und  Potenzgesetzen zusammenfassen:
$$(n+1) * [mm] \bruch{\left(\bruch{n}{e}\right)^{n}}{\left(\bruch{n+1}{e}\right)^{n+1}} [/mm] \ = \ (n+1) * [mm] \bruch{\bruch{n^n}{e^n}}{\bruch{(n+1)^{n+1}}{e^{n+1}}} [/mm] \ = \ [mm] e*\bruch{n^n}{(n+1)^n} [/mm] \ = \ ...$$
Versuche nun den Bruch zu einer Folge mit bekanntem Grenzwert umzuformen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:24 Do 01.10.2009 | | Autor: | katjap |
danke, bin nun drauf gekommen.
umformen ergab nun:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} e*(\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}})^{n} [/mm] = e* [mm] \bruch{1}{e} [/mm] = 1
:)
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