konvex und konkav bestimmen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:54 Fr 07.12.2012 | | Autor: | zitrone |
Hallo!
Ich hab folgende Funktion bekommen:
f(x)= [mm] x^4 [/mm] - [mm] 4x^3 [/mm] + [mm] 5x^2 [/mm] - 2x
f'(x)= [mm] 4x^3 [/mm] - [mm] 12x^2 [/mm] + 10x - 2
f''(x)= [mm] 12x^2 [/mm] - 24x + 10
Nun soll ich bestimmen, wann die Funktion konvex ist und wann konkav. Vorab: Ich weiß was die Begriffe bedeuten. Das ist nicht das Problem.
Nun hab ich herausgefunden, dass wenn f''(x)>0, dann konvex und wenn f''(x)<0, dann konkav.
Ich hätte jetzt gesagt, dass alles was 0< ist größer 0 sein müsste. Also:
konvex: [mm] [1,\infty)
[/mm]
konkav: [mm] (-\infty,1]
[/mm]
Oder ist das falsch?
Könnte mir bitte wer helfen?:/
LG zitrone
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:04 Fr 07.12.2012 | | Autor: | abakus |
> Hallo!
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> Ich hab folgende Funktion bekommen:
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> f(x)= [mm]x^4[/mm] - [mm]4x^3[/mm] + [mm]5x^2[/mm] - 2x
> f'(x)= [mm]4x^3[/mm] - [mm]12x^2[/mm] + 10x - 2
> f''(x)= [mm]12x^2[/mm] - 24x + 10
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> Nun soll ich bestimmen, wann die Funktion konvex ist und
> wann konkav. Vorab: Ich weiß was die Begriffe bedeuten.
> Das ist nicht das Problem.
> Nun hab ich herausgefunden, dass wenn f''(x)>0, dann
> konvex und wenn f''(x)<0, dann konkav.
Hallo,
f''(x) ist eine quadratische Funktion, und wegen des (positiven) Faktors 12 vor dem [mm] $x^2$ [/mm] haben wir eine nach oben geöffnete Parabel.
Solche Parabeln haben NUR zwischen ihren Nullstellen negative Werte.
Gruß Abakus
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> Ich hätte jetzt gesagt, dass alles was 0< ist größer 0
> sein müsste. Also:
> konvex: [mm][1,\infty)[/mm]
> konkav: [mm](-\infty,1][/mm]
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> Oder ist das falsch?
>
> Könnte mir bitte wer helfen?:/
>
> LG zitrone
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Fr 07.12.2012 | | Autor: | zitrone |
Hallo abakus!
Danke für die Antwort!:)
Also heißt das im Endeffekt, dass ich die Nullstellen berechnen muss, um dann deren Abstände als konkav oder konvex angeben kann?
LG zitrone
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Hallo zitrone,
Du musst die Wendepunkte Deiner Funktion berechnen.
An den Wendepunkten ändert sich die Kurvenkrümmung.
Ich habe: WP1: [mm] $x_1\;=\;1-\wurzel{\frac{1}{6}}$ [/mm] und WP2: [mm] $x_2\;=\;1+\wurzel{\frac{1}{6}}$
[/mm]
Vor [mm] x_1 [/mm] ist Deine Funktion linksgekrümmt (konvex).
Zwischen [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] ist Deine Funktion rechtsgekrümmt (konkav).
Nach [mm] x_2 [/mm] ist Deine Funktion wieder linksgekrümmt (konvex).
LG, Martinius
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